«Методы решений тригонометрических уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 5 им.героя России Мусалаева Т.О.

Разработка открытого

урока по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме

«Методы решений тригонометрических уравнений»

Составитель: Салимова А.Х.

Учитель математики

гХасавюрт,2017

Тема: «Методы решений тригонометрических уравнений».

Дата:

Основная цель:

Совершенствование умения применять различные способы решения

тригонометрических уравнений.

Задачи:

Образовательные:

систематизировать сведения о способах решения тригонометрических

уравнений на примере одного уравнения.

Развивающие:

развивать и активизировать познавательный интерес к предмету.

Воспитательные:

формировать умение анализировать свою работу, давать самооценку учебной деятельности,

формировать коммуникативные компетентности, умение работать в группах; чувства ответственности, взаимопонимание, умение контролировать свои действия.

Тип урока:

Урок-практикум; урок одного уравнения.

Методы организации учебной деятельности

Групповая, фронтальная, устная и письменная.

Оборудование урока:

Карточки с заданиями для групповой работы, справочные таблицы, компьютеры с выходом в интернет.

• Педагогические технологии: технология коллективного взаимообучения, технология сотрудничества

Ход урока:

1. Актуализация знаний.

1) Учащиеся, не решая уравнений, сообщают каким способом, по их мнению, следовало бы решать каждое уравнение:

1) 2cos² 3x + sin 3x – 1 = 0; 4) cos x – sin x = ½;

2) cos x – cos 3x = sin 2x; 5) cos 3x cos 2x = sin 3x sin 2x;

3) 2tg x – 3 = 2tg x; 6) 3sin² x + sin 2x = 3;

7) 3sin x + 4cos x = 2.

Ответы обсуждаются в быстром темпе, при этом повторяются основные методы решения тригонометрических уравнений.

2) актуализация знаний учащихся путем выполнения в парах практической работы с использованием ЭОР

http://fcior.edu.ru/card/22997/prosteyshie-trigonometricheskie-vyrazheniya.html

http://fcior.edu.ru/card/64/reshenie-prosteyshih-trigonometricheskih-uravneniy-k1.html

2.Урок-практикум.

Учитель разбивает учащихся на 6 групп(дифференцированно), каждая группа получает задание на карточках решить уравнение sin x + cos x = 1 определенным способом.

Карточка № 1

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью введения вспомогательного угла.

Разделив обе части уравнения на √2, получим

1/√2sin x + 1/√2 cos x = 1/√2

Карточка № 2

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью замены выражений sin x и cos x через tg x/2, по формулам: sin x = 2tg x/2 ; cos x = 1- tg² x/2

1+tg² x/2 1+tg² x/2

Карточка № 3

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью сведения его к однородному.

Выразить sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента.

sin x = 2sin x/2 cos x/2

cos x = cos² x/2 - sin² x/2

1 = cos² x/2 + sin² x/2

Карточка № 4

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 с помощью преобразования суммы в произведение Выразить cos x через sin (π/2 - x) и применить формулу sin x + sin y = 2 sin (x+y)/ 2 * cos (x-y)/ 2

Карточка № 5

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1, применив формулу

sin x + cos x = √ 2 sin ( x + π/4 ).

Карточка № 6

Задание: решить уравнение sin x + cos x = 1 путем возведения в квадрат обеих частей уравнения.

После того, как уравнение решено, учащиеся (по одному из каждой группы) показывают решение на доске.

Рассматриваем различные способы решения одного уравнения

sin x + cos x = 1. (*)

I способ.

Введение вспомогательного угла. _

Разделим обе части уравнения на √2_ _

1/√2sin x + 1/√2 cos x = 1/√2, или

cos π/4 sin x + sin π/4 cos x = √2/2

sin (x+ π/4 ) =_√2/2

x+ π/4 = (-1)^k arcsin √2/2 + πk, k є Z.

Ответ. x = - π/4 + (-1)^k π/4 + πk, k є Z.

II способ.

Замена выражений sin x и cos x через tg x/2 . 2tg x/2 __ ₊ 1- tg² x/2 __ _{= 1 ,}

1+tg² x/2 1+ tg² x/2 где x≠π + 2πn, n є Z.

Отсюда 2tg x/2 +1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2

2tg x/2 - 2tg² x/2 = 0

tg x/2 ( 1- tg x/2 ) = 0

tg x/2 = 0 или tg x/2 = 1

x/2 = πn, n є Z; x/2 = π/4 +πk, k є Z;

x = 2πn, n є Z. x = π/2 +2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x = π/2 + 2πk, k є Z.

III способ.

Сведение к однородному уравнению.

Выразим sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента.

2sin x/2 cos x/2 + cos² x/2 - sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2

2sin x/2 cos x/2 - 2 sin² x/2 = 0

Разделим обе части уравнения на 2 cos² x/2

tg x/2 - tg² x/2 = 0

tg x/2 ( 1 – tg x/2 ) = 0

Если tg x/2 = 0, то x/2 = πn, n є Z; x = 2πn, n є Z.

Если tg x/2 = 1, то x/2 = π/4 + πk, k є Z; x = π/2 + 2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x = π/2 +2πk, k є Z.

IV способ.

Преобразование суммы в произведение.

Выразим cos x через sin (π/2 - x)

sin x + sin (π/2 -x ) = 1

x + π/2-x x + π/2 - x

2sin 2 cos 2 = 1

2sin π/4 cos (x- π/4 ) = 1

√ 2 cos ( x - π/4 ) = 1

cos ( x - π/4 ) = √2/2

x - π/4 = + arcos √2/2 + 2πn, n є Z;

x = π/4 + π/4 + 2πn, n є Z;

или х = 2πn, n є Z; x = π/2 +2πk, k є Z.

Ответ. х = 2πn, n є Z ; x π/2 +2πk, k є Z.

V способ. __

Применение формулы sin x + cos x = √ 2 sin ( x + π/4 ).

√2 sin ( x + π/4 ) = 1 _

sin ( x + π/4 ) = 1/√2 _

x + π/4 = (-1)ⁿ arcsin 1/√2 + πn, n є Z;

x = - π/4 + (-1)ⁿ π/4 + πn, n є Z.

Ответ. x = - π/4 + (-1)ⁿ π/4 + πn, n є Z.

VI способ.

Возведение в квадрат обеих частей уравнения (*).

(sin x + cos x )² = 1

2 sin x cos x + 1 = 1

2 sin x cos x = 0

sin x = 0 или cos x = 0

x = π n, n є Z; x = π/2 + πk, kєZ.

При проверке из первой серии корнями будут являться лишь х = 2πn, а х = х +2πn ( n Z) – посторонний корень.

Из второй серии корнями будут х = π/2 + 2πk, а серия х = - π/2 + 2πk (kєZ) – постороннее решение.

Ответ. x = 2 π n, n є Z; x = π/2 +2πk, kєZ.

4.Постановка домашнего задания

Обязательное домашнее задание:

Учащимся предлагается решить рассмотренными способами уравнение

sin x - cos x = 1

Необязательное домашнее задание:

Учащимся предлагается решить два задания из тестов ЕГЭ (уровень С)

1. Решить уравнение 7 tg² х + 6 cos² x = sin x tg² х + 6

2. Найти все значения р, при котором уравнение 4 sin² x = р – 3 cos 2x не имеет корней.

5. Рефлексия

Учащимся предлагается листок обратной связи

Обведите кружочком вариант ответа

1. У меня все получилось отлично

2. Возможно, я допустил незначительную ошибку

3. Я не уверен в правильности выполнения задания

4. Я не справился с заданием

6.Итог урока.

На данном уроке были систематизированы способы решения тригонометрических уравнений на примере решения одного уравнения. На следующем уроке мы будем применять способы решения тригонометрических уравнений для решения систем уравнений.

Список использованной литературы

1. Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др. Алгебра и начала математического анализа( профильный уровень) 10 класс. М: Мнемозина, 2011

2. Л.А.Александрова. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные работы / Под редакцией А.Г.Мордковича. М.: Мнемозина, 2009.

3. Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд Дидактические материалы по алгебре и началам анализа - Москва: Просвещение, 1997.

4. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 классов, - М.: Илекса, 2010.

Интернет-источники:

http://school-collection.edu

www.fipi.ru

ege.edu.ru