Получите свидетельство
Вход
ПРИМЕНЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ
Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения
функция возрастает,
а на каких – убывает.
0 , то f(x) – возрастает б) если f´(x) в) если f´(x) = 0 , то f(x) – постоянна (константа) " width="640"
Теорема :
Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то
а) если f´(x) 0 , то f(x) – возрастает
б) если f´(x)
в) если f´(x) = 0 , то f(x) – постоянна
(константа)
Экстремумы это точки в которых происходит изменение характера монотонности функции, т.е график сначала убывает, затем возрастает и наоборот.
- х = а точка максимума ( max)
- х = b точка минимума ( min)
y
а
У= f(x)
b
0
y
x
a
b
Y=g(x)
0
x
0 , то функция возрастает. На рисунке мы будем это показывать так (смотри рисунок). Тогда х 0 – точка минимума функции f (х) min f ΄ (х) х 0 " width="640"
Если производная на первом промежутке f ΄ (х) 0 , то на этом промежутке функция убывает , а на втором f ΄ (х) 0 , то функция возрастает.
На рисунке мы будем это показывать так (смотри рисунок).
Тогда х 0 – точка минимума функции
f (х)
min
f ΄ (х)
х 0
0, то на этом промежутке функция возрастает , а на втором f ΄ (х) 0, то функция убывает. На рисунке мы будем это показывать так (смотри рисунок). Тогда х 0 – точка максимума функции max f ΄ (х) f (х) х 0 " width="640"
Если производная на первом промежутке f ΄ (х) 0, то на этом промежутке функция возрастает , а на втором f ΄ (х) 0, то функция убывает.
На рисунке мы будем это показывать так (смотри рисунок).
Тогда х 0 – точка максимума функции
max
f ΄ (х)
f (х)
х 0
0 , при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ ) f ´(x) х max = 1 х min = 3 Ответ: (-∞; 1) и (3; + ∞ ) функция возрастает (1; 3) - убывает - + f ´(x) + х 1 3 f(x) " width="640"
Например :
f ´(x) 0 , при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ )
f ´(x)
х max = 1
х min = 3
Ответ: (-∞; 1) и (3; + ∞ ) функция возрастает
(1; 3) - убывает
-
+
f ´(x)
+
х
1
3
f(x)
если и слева и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба )
х 0
х 0
экстремума нет
На данном рисунке происходит изменение кривизны графика функции в точке х 1 – это точка перегиба )
Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?
1)Определяем экстремумы. Это точки в которых производная равна нулю. Это точки: -1; 5; 7; 11. Поставим их на рисунке.
5
7
-1
11
2)Определяем знаки производной на каждом промежутке. Ставим знаки «+» и «-».
f ´(x)
1 1
f(x)
5
-1
7
3 )Показываем стрелочками где функция возрастает и убывает.
f ´(x)
1 1
f(x)
-1
5
7
4)Подписываем экстремумы. Записываем промежутки монотонности.
min
max
min
f ´(x)
max
1 1
f(x)
5
-1
7
Сделайте тоже самое по следующему графику.
Экстремумы 10 кл (1.48 MB)
0
112
13
Нравится
0
