"Двугранный угол"

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

Основные задачи урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла
• Рассмотреть задачи на применение этих понятий

Определение:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

AF ⊥ CD

BF ⊥ CD

AFB -линейный угол двугранного угла ACDВ

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Примеры двугранных углов:

Определение:

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Задача 1:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 .

Ответ: 90 o .

Задача 2:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 .

Ответ: 45 o .

Задача 3:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 .

Ответ: 90 o .

Задача 4:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 .

Ответ: 90 o .

Задача 5:

В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями

BC 1 D и BA 1 D .

Решение:

Пусть О – середина ВD. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 ВDС 1 .

Задача 6:

В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB – линейный угол двугранного угла BACD.

Решение:

Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥AC и DM⊥AC и, следовательно, ∠DMB является линейным углом двугранного угла DACB.

Задача 7:

Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .

Решение:

• АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС.

ВК – расстояние от точки В до АС.

ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α

2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме , обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 .

3) ∆ВАК :

∠ А=30 0 , ВК=ВА·sin30 0 , ВК =1.

∆ ВКВ 1 :

ВВ 1 =ВК·sin45 0 , ВВ 1 =

Домашнее задание:

Параграф 3, п.22, №167, 169, с.57, вопросы 7-10.