Алгебра логики. Задачи

Алгебра

логики.

Задачи

2) ИЛИ НЕ (X 1)? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 " width="640"

Задача №2

• Для какого из указанных значений числа X ложно выражение (X 2) ИЛИ НЕ (X 1)?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

2) И НЕ (X 3)? 1)   1 2)   2 3)   3 4)   4 " width="640"

Задача №3

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение (X 2) И НЕ (X 3)?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

Задача №4

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение (X 2))?

1)   1

2)   2

3)   3

4)   4

Задача №5

Для какого из приведенных чисел истинно высказывание:

НЕ(Первая цифра четная) И НЕ(Вторая цифра нечетная)?

1) 4562

2) 6843

3) 3561

4) 1234

Задача №6

Для какого имени истинно высказывание:

¬ ( Первая буква имени гласная   → Четвертая буква имени согласная )?

• ЕЛЕНА    2) ВАДИМ     
• 3) АНТОН        4) ФЕДОР

Задача №7

Для какого имени ложно высказывание:

( Первая буква гласная  ^  Последняя буква согласная )   →    ¬ (Третья буква согласная) ?

• ДМИТРИЙ                     2) АНТОН            
•    3) ЕКАТЕРИНА       4) АНАТОЛИЙ

Задача №8

Для какого имени истинно высказывание:

( Вторая буква гласная → Первая буква гласная ) ^ Последняя буква согласная ?

• АЛИСА                  2)МАКСИМ          3) СТЕПАН             4) ЕЛЕНА

Задача №9

Для составления цепочек разрешается использовать бусины четырех типов,

обозначенные буквами У, М, К, И. Каждая цепочка должна состоять из трех бусин, при

этом должны соблюдаться правила:

- любая цепочка заканчивается гласной буквой,

- после согласной буквы не может идти буква У, а после гласной К,

- на первом месте не может быть К или М.

Какая из цепочек построена по этим правилам?

1) МКУ 2) ИКИ 3) УМИ 4) КУУ

Решение:

Здесь правила есть логические высказывания. Требуется определить, какая из цепочек символов удовлетворяет всем высказываниям. Для каждого из ответов проверим истинность высказываний:

Ответы любая цепочка заканчивается гласной буквой после согласной буквы не может идти буква У,

а после гласной К на первом месте не может быть К или М

1) МКУ да нет нет

2) ИКИ да нет да

3) УМИ да да да

4) КУУ да нет нет

Все высказывания истинны только для ответа № 3.

Ответ: № 3

Задача №10

При составлении расписания на понедельник учителя высказали свои пожелания по поводу первых пяти уроков. Учитель черчения хочет иметь второй или третий урок,

учитель математики – первый или второй урок, учитель информатики – третий или четвертый, учитель географии – третий или четвертый, учитель русского языка согласен

только на первый или пятый уроки.

Какой вариант расписания подойдет всем учителям школы? (Обозначения: Ч – черчение, М – математика, И – информатика, Г – география, Р – русский язык.)

1) Ч М И Г Р 2) М Ч И Г Р 3) Р Ч М Г И 4) М Р Ч И Г

Решение:

Требуется выяснить, для какого из вариантов ответов все высказывания учителей истинны. Внесем их в таблицу,.

Номер урока 1 2 3 4 5

Предмет М, Р Ч, М Ч, И, Г И, Г Р

Проверим истинность высказываний для каждого ответа.

Ответы: 1: М, Р 2: Ч, М 3: Ч, И, Г 4: И, Г 5: Р

1) ЧМИГР нет да да да да

2) МЧИГР да да да да да

3) РЧМГИ да да нет да нет

4) МРЧИГ да нет да да нет

Все высказывания истинны только для ответа № 2

Ответ: № 2

10) ∧ ￢ (X + 3 ￢ (X 0) ? 1) 0 2) 2 3) 4 4) 7 Решение: Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X. Получим ( X 5) ∧ ￢ (X ￢ (X 0). Далее выполним операции отрицания, получим ( X 5) ∧ (X = 5) ∨ (X ( X 5) ∧ (X = 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае, если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X 5. Наконец, последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы хотя бы один из операндов был истинным: Х 5 или X числа положительные, но только 7 5, значит, ответ Х = 7. Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности. Введем логические переменные А, В и С: А = ( X*2 10), В = ( X + 3 0 ). Тогда выражение можно записать в виде А ∧ ￢ В ∨ ￢ С. Порядок выполнения операций: отрицание В, отрицание С, логическое умножение, логическое сложение. X А ( X 5) В ( X С ( X 0 ) ￢ В А ∧ ￢ В ￢ С А ∧ ￢ В ∨ ￢ С 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 7 1 0 1 1 1 0 1 Ответ: № 4 " width="640"

Задача №11

Для какого из указанных значений числа X истинно выражение

( X * 2 10) ∧ ￢ (X + 3 ￢ (X 0) ?

1) 0 2) 2 3) 4 4) 7

Решение: Преобразуем неравенства так, чтобы слева оставалась только переменная X.

Получим ( X 5) ∧ ￢ (X ￢ (X 0). Далее выполним операции отрицания, получим

( X 5) ∧ (X = 5) ∨ (X

( X 5) ∧ (X = 5), результатом выполнения которой будет истина только в том случае,

если оба неравенства будут выполняться. Это возможно только при X 5. Наконец,

последней выполняется операция дизъюнкции. Для получения истины необходимо, чтобы

хотя бы один из операндов был истинным: Х 5 или X

числа положительные, но только 7 5, значит, ответ Х = 7.

Эту задачу можно решить составлением таблицы истинности. Введем логические

переменные А, В и С: А = ( X*2 10), В = ( X + 3 0 ). Тогда выражение

можно записать в виде А ∧ ￢ В ∨ ￢ С. Порядок выполнения операций: отрицание В,

отрицание С, логическое умножение, логическое сложение.

X А

( X 5)

В

( X

С

( X 0 )

￢ В А ∧ ￢ В ￢ С А ∧ ￢ В ∨ ￢ С

0 0 1 1 0 0 0 0

2 0 1 1 0 0 0 0

4 0 1 1 0 0 0 0

7 1 0 1 1 1 0 1

Ответ: № 4

= (X + 1) ・ (X + 1)) равно ___________ Решение: Преобразуем выражение, используя формулу A→B = ￢ A ∨ B. Отрицанием высказывания (256 X ・ X ) является (256 X ・ X ). Получим выражение (256 X ・ X ) ∨ (256 = (X + 1) ・ (X + 1)) Для того чтобы выражение было истинным, должны выполняться хотя бы одно неравенство. Первое неравенство выполняется при –16 Х – 17 Х Ответ: –17. " width="640"

высказывания (256 X ・ X ) является (256 X ・ X ). Получим выражение

(256 X ・ X ) ∨ (256 = (X + 1) ・ (X + 1))

Для того чтобы выражение было истинным, должны выполняться хотя бы одно

неравенство. Первое неравенство выполняется при –16 Х

– 17 Х

Ответ: –17.

Задача №13

Какое из приведенных названий животных удовлетворяет логическому условию

￢ (есть мягкий знак ∧ (вторая буква гласная → пятая буква согласная))

1) МЕДВЕДЬ 2) ВЫХУХОЛЬ 3) МУРАВЬЕД 4) ОБЕЗЬЯНА

Решение:

Введем обозначения логических высказываний

А – есть мягкий знак (не А – нет мягкого знака)

В – вторая буква гласная (не В – вторая буква согласная)

С - пятая буква согласная (не С – пятая буква гласная)

Запишем условие с использованием обозначений и построим таблицу истинности

для каждого варианта ответа с учетом правил очередности выполнения операций.

￢ (А ∧ (В → С))

Ответ А В С В → С А ∧ (В → С) ￢ (А ∧ (В → С))

МЕДВЕДЬ 1 1 0 0 0 1

ВЫХУХОЛЬ 1 1 1 1 1 0

МУРАВЬЕД 1 1 1 1 1 0

ОБЕЗЬЯНА 1 0 0 1 1 0

Ответ № 1.

Задача №14

Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию

￢ (первая буква гласная → последняя буква гласная) ∧ вторая буква согласная

1) ИРИНА 2) ОЛЕГ 3) СТЕПАН 4) ИЛОНА

Решение. Подобную задачу мы рассмотрели выше, где решали ее построением таблицы

истинности. В этом примере введем обозначения и выполним преобразования логического

выражения.

А – первая буква гласная

В – последняя буква гласная

С – вторая буква согласная

￢ (А →В) ∧ С = ￢ ( ￢ А ∨ В) ∧ С = А ∧ ￢ В ∧ С

Полученное выражение означает, что все три сомножителя одновременно должны быть

истиной. Возвращаясь к высказываниям, получим, что в слове

первая буква гласная и последняя буква согласная и вторая буква согласная.

Этому условию удовлетворяет имя ОЛЕГ.

Ответ № 2