Логика 8-9 класс (Законы булевой алгебры и упрощение логических выражений)

Тема:"Законы булевой алгебры и упрощение логических выражений"

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с законами логики;  совершенствовать, развивать и углублять знания и умения по теме «Логические основы построения компьютера»; проконтролировать степень усвоения учебного материала. сформулировать правила преобразования логических выражений; научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме; продолжить работу по подготовке к ЕГЭ, способствовать развитию у учащихся логического мышления.

Развивающие:развивать внимание, память, речь, мыслительную деятельность учащихся,умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные:стимулировать познавательную деятельность учащихся, привить интерес к предмету.

Задачи учителя:

сформировать у учащихся умение определять в сложной формуле действие различных законов; сформировать у учащихся умение применять законы булевой алгебры для упрощения логических выражений.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

-правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

- упрощать логические выражения ;

- уметь решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: комбинированный урок.

Ход урока:

1. Организация начала занятия.
2. Проверка домашнего задания.
3. Разминка.  Подготовка учащихся к восприятию материала  на основном этапе занятия.  Постановка проблемы.
4. Изложение материала
5. Закрепление изученного.
6. Подведение итогов урока.
7. Рефлексия деятельности и поведения.
8. Информация о домашнем задании.

       I.      Организационный этап.

Приветствие учителем учащихся, выявление отсутствующих, проверка подготовленности к уроку, организация внимания.

    II.      Этап проверки домашнего задания.

Фронтально проверяется задание, записанное в тетради:

Построить таблицу истинности функции F:

F=(

Решение:

 III.      Разминка.  Подготовка учащихся к восприятию материала  на основном этапе занятия. 

Учитель:

Давайте в качестве разминки решим несколько задач по мат. логике из демо-версий ЕГЭ прошлых годов.

Для какого числа Xистинно высказывание

A9. ((X>3) /(X<3))  –> (X<1)

     Учитель:  Проверим все 4 возможных варианта значения Х и выберем из них тот вариант, когда значением выражения будет истина.   Вызывает ученика к доске. 

      Решение:

      Х=1

  Выражение будет иметь вид: ((1>3) /(1<3))  –> (1<1).  Определим истинность каждого высказывания.       ( 0 / 1) –> 0  , откуда  1 –> 0=0     

      Х=2

  Выражение будет иметь вид: ((2>3) /(2<3))  –> (2<1).  Определим истинность каждого высказывания.       ( 0 / 1) –> 0  , откуда  1 –> 0=0     

      Х=3

  Выражение будет иметь вид: ((3>3) /(3<3))  –> (3<1).  Определим истинность каждого высказывания.       ( 0 / 0) –> 0  , откуда  0 –> 0= 1

       Х=4

  Выражение будет иметь вид: ((4>3) /(4<3))  –> (4<1).  Определим истинность каждого высказывания.       ( 1/ 0) –> 0  , откуда  1 –> 0=0     

    Ответ:   верный ответ № 3.

A11.Символом Fобозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

 Какое выражение соответствует F?

 Учитель:    Составим таблицы истинности для каждого высказывания, и сравним результат с F.

  Ответ: верный ответ 2

В2.  Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(90 (X< (X-1)) ?

Вспомним таблицу истинности импликации.  Импликация истинна в трёх случаях:

0→0;

0→1;

1→1;

Рассуждаем, т.к. вторая часть выражения X< (X-1)  всегда ложна,  остается только первый случай. (0→0) ;  Т.о наибольшее целое число X, при котором   90 9

A10.Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (A / B) / ¬C?

Решение:(способ1).

Учитель: Каким способом мы можем решить эту задачу?

Ученики: Построим таблицы истинности  для каждого из выражений, и сравним результаты

По заданию:

.

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Вариант4

Вывод:  сравнивая таблицы мы пришли к выводу, что верный вариант 2

Учитель:  А как вы думаете ребята,  не показалось ли вам решение этой задачи слишком громоздким?  Я, например, сразу могу сказать вам ответ этой задачи, не строя таблицы истинности.  Как вы думаете, каким образом?  

                    Правильно, существуют специальные законы преобразования выражений и сегодня мы с вами рассмотрим их. 

IV. Изложение нового материала:

Важно подвести ребят к самостоятельному выводу о необходимости преобразований и упрощений выражений. Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности сложно, в таких случаях формулы приводят к нормальной форме, т.е. в формуле отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований. Законы записаны на слайде, вывести на экран (распечатать по одному экземпляру на парту), и по мере записи на доске, ученики пишут в тетрадь.

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

A v B = B v A

A ^ B = B ^ A

2. Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)

(A v B) v С= A v (B v С)

(A ^ B) ^ С= A ^ (B ^ С)

3. Распределительный закон относительно логического умножения и сложения (дистрибутивность)

Распределение относительно логического умножения:

(А v В) ^ C = (A ^ C) v (В ^ C).  Вспомним правила раскрытия скобок в алгебре, ведь недаром операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением. И наоборот:

(A & B) v (В & C) = В & (А v C).  Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре. Распределительный закон относительно логического умножения полностью повторяет аналогичный закон алгебры.

Далее мы рассмотрим группу законов, у которых нет аналогов в алгебре, но они легко воспринимаются учащимися из-за своей наглядности.

4.Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)

А v А = А

А ^ А = А

Если высказывание А ложно (0), то результат 0 v 0, а также 0 ^ 0 – ложь; если высказывание А истинно (1), то результат 1 v 1, а также 1 ^ 1 - истина

5. Двойное отрицание (инволюция)

¬ (¬ А) = А

Ученикам предлагается заполнить таблицу истинности и сравнить 1 и 3 столбцы

6. Действия с абсолютно-истинными и абсолютно-ложными высказываниями. Абсолютно-истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение ИСТИНА при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «истина» или 1. (пример: теорема Пифагора) Абсолютно-ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение ЛОЖЬ при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «ложь» или 0.

А v 1 =1 (всегда истина)

А ^1 = А

А v 0 = А

А ^ 0 = 0 (всегда ложь)

7. Закон исключенного третьего

А v ¬ А = 1 (всегда истина)

В этом выражении что-то одно всегда истина, поэтому результат логического сложения – истина (открыть учебник на странице 353 и прочитать 1 правило - подсказки )

8. Закон противоречия

А ^ ¬ А = 0 (всегда ложь)

В этом выражении что-то одно (либо А, либо ¬ А) ложно, поэтому результат логического умножения – ложь.

Далее рассмотрим группу законов, которые необходимо проверить. Проверку произведем путем построения таблиц истинности для правой и левой части законов и последующего их сравнения. для построения таблиц истинности к доске вызвать ученика.

9. Законы де Моргана

¬ (А ^ В) = ¬ А v ¬ В

¬ (А v В) = ¬ А ^ ¬ В

10. Поглощение

А v А ^ В = А

А ^ (А v В) = А

11. Поглощение отрицания

А v ( ¬ А ^ В) = А v В

А ^ ( ¬ А v В) = А ^ В

Доказать свойства поглощения и поглощения отрицания можно путем упрощения на основе свойств дистрибутивности. (Доказательство оставить для домашней работы)

Импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций, а при решении задач они требуются. Существуют формулы замены данных операций с использованием только операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Так, вместо операции импликации можно использовать следующее тождественное выражение:

A →B = не A V B

Для замены операции эквивалентности существует два выражения:

A равносильно B = (A * B) V (не A * не B)

A равносильно B = (A V не B) * (не A V B)

V. Закрепление изученного: упрощение логических выражений

В этой части урока учитель показывает, на примере как упрощаются выражения: и объясняет, что для успешного упрощения нужна практика. Чем больше примеров будет решено, тем вероятнее, что ученик увидит возможные варианты упрощения в конкретном выражении.

  Задания: 

1). Упростить логическое выражение. (Демонстрируется слайд).

       _______________                    

                          _____                    

F= (AvB) → (BvC)

Решение (используются законы де Моргана, закон двойного отрицания, распределительный закон):

       _______________                     _____

                          _____                      _____

F = (A v B) → (B v C) = A v B & (B v C) = (A v B) & (B v C) = B v (A & C)

2) Выполнение аналогичных заданий по карточкам.

Учитель: А теперь попробуем применить изученные законы для решения задач.

3) Решим задачу: 

Учитель. Представим такую ситуацию: по телевизорусиноптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

1.           Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2.           Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3.           Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? (Ответы учеников)

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

      A– «Ветра нет»

      B– «Пасмурно»

      С – «Дождь»

б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

                              __

   &n

Тема: "Законы булевой алгебры и упрощение логических выражений"

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с законами логики; совершенствовать, развивать и углублять знания и умения по теме «Логические основы построения компьютера»; проконтролировать степень усвоения учебного материала. сформулировать правила преобразования логических выражений; научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме; продолжить работу по подготовке к ЕГЭ, способствовать развитию у учащихся логического мышления.

Развивающие: развивать внимание, память, речь, мыслительную деятельность учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные: стимулировать познавательную деятельность учащихся, привить интерес к предмету.

Задачи учителя:

сформировать у учащихся умение определять в сложной формуле действие различных законов; сформировать у учащихся умение применять законы булевой алгебры для упрощения логических выражений.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

-правила преобразования логических выражений и законов логики.

Учащиеся должны уметь:

- упрощать логические выражения ;

- уметь решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

Тип урока: комбинированный урок.

Ход урока:

1. Организация начала занятия.

2. Проверка домашнего задания.

3. Разминка. Подготовка учащихся к восприятию материала на основном этапе занятия. Постановка проблемы.

4. Изложение материала

5. Закрепление изученного.

6. Подведение итогов урока.

7. Рефлексия деятельности и поведения.

8. Информация о домашнем задании.

1. Организационный этап.

Приветствие учителем учащихся, выявление отсутствующих, проверка подготовленности к уроку, организация внимания.

1. Этап проверки домашнего задания.

Фронтально проверяется задание, записанное в тетради:

Построить таблицу истинности функции F:

F=(

Решение:

1. Разминка. Подготовка учащихся к восприятию материала на основном этапе занятия.

Учитель:

Давайте в качестве разминки решим несколько задач по мат. логике из демо-версий ЕГЭ прошлых годов.

Для какого числа X истинно высказывание

A9. ((X3) \/(X (X

Учитель: Проверим все 4 возможных варианта значения Х и выберем из них тот вариант, когда значением выражения будет истина. Вызывает ученика к доске.

Решение:

Х=1

Выражение будет иметь вид: ((13) \/(1 (1 0 , откуда 1 – 0=0

Х=2

Выражение будет иметь вид: ((23) \/(2 (2 0 , откуда 1 – 0=0

Х=3

Выражение будет иметь вид: ((33) \/(3 (3 0 , откуда 0 – 0= 1

Х=4

Выражение будет иметь вид: ((43) \/(4 (4 0 , откуда 1 – 0=0

Ответ: верный ответ № 3.

A11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Учитель: Составим таблицы истинности для каждого высказывания, и сравним результат с F.

Ответ: верный ответ 2

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(90X·X) – (X X -1)) ?

Вспомним таблицу истинности импликации. Импликация истинна в трёх случаях:

0→0;

0→1;

1→1;

Рассуждаем, т.к. вторая часть выражения X X -1) всегда ложна, остается только первый случай. (0→0) ; Т.о наибольшее целое число X, при котором 90X·X ложно равно 9

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (A /\ B) /\ ¬C?

Решение: (способ1).

Учитель: Каким способом мы можем решить эту задачу?

Ученики: Построим таблицы истинности для каждого из выражений, и сравним результаты

По заданию:

.

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Вариант4

Вывод: сравнивая таблицы мы пришли к выводу, что верный вариант 2

Учитель: А как вы думаете ребята, не показалось ли вам решение этой задачи слишком громоздким? Я, например, сразу могу сказать вам ответ этой задачи, не строя таблицы истинности. Как вы думаете, каким образом?

Правильно, существуют специальные законы преобразования выражений и сегодня мы с вами рассмотрим их.

IV. Изложение нового материала:

Важно подвести ребят к самостоятельному выводу о необходимости преобразований и упрощений выражений. Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности сложно, в таких случаях формулы приводят к нормальной форме, т.е. в формуле отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований. Законы записаны на слайде, вывести на экран (распечатать по одному экземпляру на парту), и по мере записи на доске, ученики пишут в тетрадь.

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

A v B = B v A

A ^ B = B ^ A

2. Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)

(A v B) v С = A v (B v С)

(A ^ B) ^ С= A ^ (B ^ С)

3. Распределительный закон относительно логического умножения и сложения (дистрибутивность)

Распределение относительно логического умножения:

(А v В) ^ C = (A ^ C) v (В ^ C). Вспомним правила раскрытия скобок в алгебре, ведь недаром операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением. И наоборот:

(A & B) v (В & C) = В & (А v C). Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре. Распределительный закон относительно логического умножения полностью повторяет аналогичный закон алгебры.

Далее мы рассмотрим группу законов, у которых нет аналогов в алгебре, но они легко воспринимаются учащимися из-за своей наглядности.

4. Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)

А v А = А

А ^ А = А

Если высказывание А ложно (0), то результат 0 v 0, а также 0 ^ 0 – ложь; если высказывание А истинно (1), то результат 1 v 1, а также 1 ^ 1 - истина

5. Двойное отрицание (инволюция)

¬ (¬ А) = А

Ученикам предлагается заполнить таблицу истинности и сравнить 1 и 3 столбцы

6. Действия с абсолютно-истинными и абсолютно-ложными высказываниями. Абсолютно-истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение ИСТИНА при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «истина» или 1. (пример: теорема Пифагора) Абсолютно-ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение ЛОЖЬ при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «ложь» или 0.

А v 1 =1 (всегда истина)

А ^1 = А

А v 0 = А

А ^ 0 = 0 (всегда ложь)

7. Закон исключенного третьего

А v ¬ А = 1 (всегда истина)

В этом выражении что-то одно всегда истина, поэтому результат логического сложения – истина (открыть учебник на странице 353 и прочитать 1 правило - подсказки )

8. Закон противоречия

А ^ ¬ А = 0 (всегда ложь)

В этом выражении что-то одно (либо А, либо ¬ А) ложно, поэтому результат логического умножения – ложь.

Далее рассмотрим группу законов, которые необходимо проверить. Проверку произведем путем построения таблиц истинности для правой и левой части законов и последующего их сравнения. для построения таблиц истинности к доске вызвать ученика.

9. Законы де Моргана

¬ (А ^ В) = ¬ А v ¬ В

¬ (А v В) = ¬ А ^ ¬ В

10. Поглощение

А v А ^ В = А

А ^ (А v В) = А

11. Поглощение отрицания

А v ( ¬ А ^ В) = А v В

А ^ ( ¬ А v В) = А ^ В

Доказать свойства поглощения и поглощения отрицания можно путем упрощения на основе свойств дистрибутивности. (Доказательство оставить для домашней работы)

Импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций, а при решении задач они требуются. Существуют формулы замены данных операций с использованием только операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Так, вместо операции импликации можно использовать следующее тождественное выражение:

A → B = не A V B

Для замены операции эквивалентности существует два выражения:

A равносильно B = (A * B) V (не A * не B)

A равносильно B = (A V не B) * (не A V B)

V. Закрепление изученного: упрощение логических выражений

В этой части урока учитель показывает, на примере как упрощаются выражения: и объясняет, что для успешного упрощения нужна практика. Чем больше примеров будет решено, тем вероятнее, что ученик увидит возможные варианты упрощения в конкретном выражении.

Задания:

1). Упростить логическое выражение. (Демонстрируется слайд).

_______________

_____

F = (A v B) → (B v C)

Решение (используются законы де Моргана, закон двойного отрицания, распределительный закон):

_______________ _____

_____ _____

F = (A v B) → (B v C) = A v B & (B v C) = (A v B) & (B v C) = B v (A & C)

2) Выполнение аналогичных заданий по карточкам.

Учитель: А теперь попробуем применить изученные законы для решения задач.

3) Решим задачу:

Учитель. Представим такую ситуацию: по телевизору синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? (Ответы учеников)

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

A – «Ветра нет»

B – «Пасмурно»

С – «Дождь»

б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

__

A → B & C

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:

С → B & A

3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра

B → C & A

в) Запишем произведение указанных функций:

_

F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

г) Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

_

F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)
_ _ _ _

= (A v B & C) & (C v B&A) & (B v C&A) =

_ _ _ _

= (A v B & C) & (B v C&A) & (C v B&A) =

_ _ _ _ _ _

= (A & B v B&C&B v A&C&A v B&C&C&A) & (C v B&A)=

_ _ _ _ _ _ _

= A & B &(C v B&A) =A&B&C v A&B&B&A =

_ _ _

= A&B&C

д) Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:

_ _ _

F = A & B & C = 1

е) Проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

Поэтому:

_ _ _

A = 1; B = 1; C = 1;

Значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Учитель: Ну а теперь вернёмся к задаче:

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (A /\ B) /\ ¬C?

Способ 2: Применим закон де Моргана. ¬ (A /\ B) = ¬A \/ ¬B

Раскрывая скобки получаем (¬A \/ ¬B) /\ ¬C = (¬A \/ ¬B) /\ ¬C

Ответ: верный ответ №2

1. Этап подведения итогов учебного занятия.

Учитель задает вопрос: Так какой же способ решения легче?: (Учащиеся должны ответить, что в некоторых заданиях не нужно чертить таблиц, решение с помощью Законов алгебры логики существенно экономит время).

VII. Рефлексия

Что было легко, а что трудно?

Что было интересно, а что не затронуло?

Что нового для себя вы узнали, чему научились?

Какие компетенции Вы приобрели?

VIII. Домашнее задание.

Выучить законы алгебры-логики. Выполнить задания:

Задача1. Андрею, Саше и Егору предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Андрей показал, что преступники скрылись на синем Мерседесе, Саша сказал, что это был черный Джип, а Егор утверждал, что это был Форд Мустанг и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина? (Учитель помогает детям записать правильно логическое выражение.)

Задача2. ((X(XX (X

Задача3. Доказать свойства поглощения. (Упростить выражения).

А v ( ¬ А ^ В) = А v В

А ^ ( ¬ А v В) = А ^ В

Задача4.

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(80X·X) – (X X -1)) ?

9