Сумма двух векторов

Начнём с примера.

Под действием воздушных масс воздушный шар сначала двигался из точки А в точку B, а затем из точки B переместился в точку C.

Каждое из этих двух перемещений можно представить в виде вектора  и .

Но можно ведь сказать, что в результате воздушный шар из точки А попал в точку C. И это перемещение задает вектор .

Так как перемещение из точки А в C складывается из перемещений из точки А в B и из B в C, то можно записать, что вектор .

Этот пример подводит нас к понятию суммы двух векторов.

Рассмотрим два ненулевых вектора:  и .

Отметим произвольную точку А и отложим от неё вектор . Далее от точки B отложим вектор .

Можем изобразить вектор , который называется суммой векторов  и . Сумму векторов обозначают так .

Данное правило сложения векторов будем называть правилом треугольника.

Вы могли усомниться, что точку А, действительно, можно выбирать произвольно.

Докажем это.

Найдём сумму векторов  и , но начнём откладывать их от некоторой точки А₁.

Нам необходимо доказать, что полученный вектор .

Из построений очевидно, что векторы

,  параллелограмм 

Аналогично, из равенства векторов

,  параллелограмм  

Из полученных равенств получаем, что равны ,

 параллелограмм   .

Что и требовалось доказать.

Изобразить вектор суммы двух векторов:

Решение.

,      

А также, опираясь на пункты 1 и 2, правило треугольника можно сформулировать так. Сумма векторов . Где А, B и C — произвольные точки.

Для троек произвольных точек продолжим равенства.

Для точек К, L и М сумма векторов .

Для точек X, Y и Z сумма векторов .

Для последней тройки точек R, S и Т сумма векторов .

Выполним несколько заданий.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и .

Построить: , , .

Решение.

Задача. Для каждого равенства, задающего сумму векторов,

указать соответствующий рисунок.

, ,

Решение.

Посмотрим на первый рисунок. Найдём вектор, начало которого совпадает с началом некоторого вектора, а конец — с концом некоторого вектора.

Таким вектором является вектор . Значит, он будет являться суммой, а векторы  и  — соответственно первым и вторым слагаемыми.

Посмотрим на следующий рисунок. Рассуждая так же как в предыдущем пункте, делаем вывод, что вектор является суммой, а векторы  и  — соответственно первым и вторым слагаемыми.

На последнем рисунке вектора  является суммой, а векторы  и   — соответственно первым и вторым слагаемыми.

Задача. Стороны ,  и  треугольника соответственно равны ,  и .Найти длины векторов: , , .

Решение.

Ответ: , , .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с правилом треугольника сложения векторов.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор , равный вектору . Далее от точки  B откладывают вектор , равный вектору . Тогда вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Исходя из данных построений, правило треугольника можно записать в виде такой формулы  , где А, B и C — произвольные точки.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор  с нулевым вектором, получаем, что их сумма равна вектору .