Откладывание вектора от данной точки

Для начала решим задачу, которая поможет повторить всё, что мы знаем о векторах.

Итак, ABCD — параллелограмм.

Нам предстоит назвать все векторы, которые изображены на рисунке, и указать среди них: равные по длине, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные и векторы сонаправленные вектору ОО.

Чтобы назвать векторы, изображённые на рисунке, повторим определение понятия вектора.

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображают в виде отрезка со стрелкой, показывающей направление вектора.

Называют векторы двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

По порядку назовём изображённые векторы: , , ,  Далее среди них найдём равные по длине. Стоит вспомнить, что длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка AB.

Пользуясь тем, что перед нами параллелограмм, можем сказать, что его противоположные стороны равны. А также диагонали точкой пересечения делятся пополам.

А значит, равны длины векторов .

Теперь укажем коллинеарные векторы. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма не только равны, а ещё и параллельны. Поэтому коллинеарными будут векторы  и .

Ну, а векторы  и  коллинеарны, так как лежат на одной прямой.

Далее нам предстоит отыскать сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Сонаправленными называют ненулевые коллинеарные векторы с одинаковыми направлениями.

Противоположно направленными называют ненулевые коллинеарные векторы с противоположными направлениями.

В обоих случаях векторы должны быть коллинеарны.

Мы же с вами указали только две пары коллинеарных векторов. Из них сонаправленными будут векторы  и , а противоположно направленными — векторы  и .

Далее вспомним определение равных векторов. Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Ранее нами указана только одна пара сонаправленных векторов, между тем их длины равны. Значит, вектор .

В последнем пункте укажем векторы сонаправленные вектору ОО.

Такой вектор на рисунке не изображён, но с прошлых уроков вам известно понятие нулевого вектора.

Любая точка плоскости является нулевым вектором. Длина любого нулевого вектора равна нулю.

Так как начало и конец у такого вектора совпадают, то у него нет определённого направления и его можно задать любым направлением. Поэтому нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Тогда мы можем сказать, что каждый из векторов , , ,  сонаправлен вектору ОО.

В ходе выполнения данного задания мы повторили всё, что знаем о векторах. Теперь приступим к изучению новой темы.

Если точка А является началом вектора А, то говорят что вектор А отложен от точки А.

Имеет место следующее утверждение. От любой точки  можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Доказательство.

Рассмотрим два случая.

1. , то искомым, равным ему, вектором будет вектор .

2. , а точки А и B — его начало и конец, то через точку М проведём прямую p параллельную AB:   .

Теперь отложим отрезки MN и MN’, равные отрезку AB:   .

Из построения видно, что такой вектор только один.

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой.

Поэтому вектор  можно обозначить как вектор .

Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Отложить векторы, равные ненулевому вектору , от каждой из вершин .

Для этого через каждую вершину проведём прямые параллельные вектору .

По каждую сторону от точек А, B и C на этих прямых отложим отрезки равные длине вектора . Таким образом получим по два вектора у каждой из вершин.

Но один из них будет сонаправлен вектору , а другой — противоположно направлен.

Нам подойдут вектора сонаправленные вектору .

Так мы отложили от каждой вершины треугольника ABC векторы, равные вектору .

Задача. От точки  необходимо отложить вектор:

а) равный вектору ;

б) сонаправленный вектору ;

в) противоположно направленный вектору .

Отложим от К вектор равный вектору . Для этого через точку К проведём прямую a, параллельную вектору .

От точки К на данной прямой отложим отрезки, длины которых равны длине вектора . Получаем два вектора. Выберем тот, который сонаправлен с вектором .

Так мы отложили от точки К вектор, равный вектору . Можем его так же обозначить как вектор .

Далее отложим от точки К вектор сонаправленный с вектором .

  .

Последним необходимо от точки К отложить вектор противоположно направленный вектору .

Перейдём к решению последней задачи.

Задача. Диаметр  и хорда  окружности образуют угол в , а радиус окружности равен . Внутри данной окружности выбрана точка  и от неё отложены векторы  и  равные векторам  и  соответственно. Найти .

Решение.

1. ()

 ()

2. : ()

()

3.

3.

4.

односторонние при

односторонние при

5. .

6. :

7.

8.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы узнали, что от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Про такие векторы можно сказать, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.