Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор . Далее от точки B откладывают вектор . Тогда вектор .

Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.

Сумма векторов . Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

И ещё один закон. . Этот закон называют сочетательным законом.

По очереди докажем каждый из них.

Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов  и .

Доказательство.

Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор .

На этих векторах построим параллелограмм ABCD.

А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что , то есть равен сумме векторов .

,  

С дугой стороны, ,  

Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов  равна сумме векторов .

Что и требовалось доказать.

Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , .

От произвольной точки А отложим Вектор , равный вектору . От точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .

Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , ,  как .

В скобках записана сумма векторов . Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору .

А сумма вектора  и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору .

Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.

По правилу треугольника .

Отсюда делаем вывод, .

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.

Обратите внимание, если векторы ,  отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов  и .

Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.

Первым изобразим вектор суммы векторов  и .

Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .

Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .

Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор  является вектором суммы векторов  и .

Далее изобразим вектор суммы векторов  и .

Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.

Последним изобразим вектор суммы векторов  и .

Задача. В треугольнике  сторона  равна ,  — , а .

Найти длину векторов   и .

Решение.

Ответ: , .

Давайте подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.

Оно заключается в следующем: чтобы сложить неколлинеарные векторы  и , нужно отложить от произвольной точки А векторы  и  равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор
 равен сумме векторов  и .