Сумма нескольких векторов

Вам уже известны правила сложения двух векторов.

Cегодня мы будем учиться складывать несколько векторов.

Построим вектор суммы векторов , , . От некоторой точки А отложим вектор
. Далее от точки B отложим вектор . А от точки C отложим вектор
.

Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника.

Сумма векторов , равна вектору .

Теперь к вектору  добавим вектор . В результате мы получаем вектор .

Тогда можем сказать, что сумма .

Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов.

Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника.

Сформулируем его в общем виде.

Если А₁, А₂, …, A_n — произвольные точки плоскости, то сумма векторов

.

Это равенство справедливо для любых точек А₁, А₂, …, A_n. И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают.

Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов , , ,  и .

Построение

.

Задача. В соответствии с правилом многоугольника составить равенство,выражающее сумму нескольких векторов.

 Посмотрим на первый рисунок. Мы видим, что последовательно складывают векторы . Но, так как начало вектора  совпадает с концом вектора , то сумма данных векторов равна нулевому вектору .

Перейдём к следующему случаю.

Видим, что сумма состоит из векторов . А вот вектор , как раз таки, и равен ей.

На рисунке в последовательно, друг за другом, отложены векторы  Ну, а вектор  равен их сумме.

На последнем рисунке последовательно, друг за другом, отложены векторы . При этом Начало вектора К совпадает с концом вектора С. Поэтому сумма данных векторов равна нулевому вектору  .

Задача.  равнобокая трапеция. и  — её основания, боковая сторона равна . Построить вектор  и найти его длину.

Построение

Решение.

Ответ:

А теперь подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с правилом многоугольника, которое позволяет строить вектор суммы нескольких векторов.

Его суть заключается в том, что векторы-слагаемые последовательно откладывают друг от друга, суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора-слагаемого, а конец совпадает с концом последнего вектора-слагаемого.

Если эти точки совпадают, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.