Вычитание векторов

Вам уже знакомы правила сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и   по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор  равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Так же вам известны законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.

На этом уроке поговорим о разности двух векторов. Её обозначают так .

Разностью векторов  и  называют такой вектор , сумма которого с вектором  равна вектору .

Чтобы получить представление о разности двух векторов, решим задачу.

Задача. По данным векторам  и  построить вектор .

Построение

.

Вектор  — искомый.

Эту задачу можно решить другим способом.

Но перед тем как его привести введём понятие вектора, противоположного данному.

Для произвольного ненулевого вектора  вектор  будет противоположным, если:

Вектор, противоположный вектору , обозначается так . И говорят «вектор минус a».

Очевидно, что сумма вектора  с противоположным ему равна нулевому вектору .

Запишем теорему о разности двух векторов.

Для любых векторов  и  справедливо равенство .

Докажем данную теорему.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Опираясь на эту теорему, приведём ещё одно решение задачи на построение разности векторов .

Способ

Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор . Далее отложим от точки А вектор .

По правилу треугольника сумма .

А значит, пользуясь теоремой о разности двух векторов, можем сделать вывод о том, что разность векторов . И вектор  — искомый.

Итак, можем сделать вывод, что вектор разности двух векторов можно строить двумя способами.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  можно представить в виде суммы вектора .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равные вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора . И, соответственно, вектором разности векторов .

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить на них векторы: , , , ,  и .

Построение.

Для начала построим векторы, противоположные данным.

Векторы являются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Выберем точки А, B и C, от которых будем откладывать противоположные векторы.

Далее через каждую из этих точек проведём прямые параллельные векторам ,  и   соответственно.

От отмеченных точек на проведённых прямых можно изобразить векторы, равные данным, и, противоположные данным. Нам нужны те, которые противоположны векторам ,  и    соответственно.

Так мы построили векторы ,  и .

Задача. Сторона квадрата  равна . Найти  и .

Построение.

Решение.

По  теореме Пифагора: 

Ответ: ; .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с понятием противоположного вектора. Противоположные векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Мы ввели понятие разности двух векторов. Разностью векторов ,  называют такой вектор , сумма которого с вектором    равна вектору .

Для построения вектора разности мы выделили два способа.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Теперь вы владеете не только правилами сложения, а ещё и правилом вычитания векторов.