Произведение вектора на число

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам А и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы   и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора   и вектора, противоположного вектору .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор  =    , а от точки А — вектор  = -, по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Сегодня мы познакомимся с ещё одним действием над векторами — умножением вектора на число.

Но, для начала, рассмотрим пример.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость b умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Этот пример поможет нам ввести понятие произведения вектора на число.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна . Причем , .

Произведение числа  обозначают так .

Следствия.

1.     Произведение вектора  на ноль, равно нулевому вектору .

2.     Ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k   коллинеарны.

Ведь, если , то полученный вектор сонаправлен вектору , а если , то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

По данному вектору  построить векторы: ; ; ; .

 Длина вектора  должна быть в три раза больше длины вектора . И этот вектор будет сонаправлен вектору , ведь k в данном случае равно трём, а это больше нуля.

; .

Далее изобразим вектор , .

Длина вектора , .

Последним построим вектор .

, .

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k: . Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Рассмотрим случай, когда , : .

Вторым свойством запишем, что . Это первый распределительный закон.

Проиллюстрируем его.

Также рассмотрим случай, когда , : .

Запишем второй распределительный закон .

Например, если рассмотреть подобные треугольники  с коэффициентом подобия k, то можно записать, что вектор , вектор , а вектор .

С другой стороны вектор . Отсюда получаем, что произведение .

Данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Преобразуем выражения с векторами с помощью известных свойств.

Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить векторы ,  и .

Построение.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами: умножением вектора на число.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.

Также записали два следствия из определения:

произведение вектора  на ноль, равно ;

ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Исходя из того, что произведение вектора на число обладает тремя свойствами, мы получили сочетательный закон, а также первый и второй распределительные законы.

Они позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.