Мы с вами уже знаем, что Квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причем .
В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение задачи сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Поэтому очень важно научиться решать квадратные уравнения.
Решить уравнение:
Мы с вами решили это уравнение методом выделения полного квадрата, т.е. применили формулу квадрата разности.
Решить уравнение:
Мы снова нашли корни уравнения методом выделения полного квадрата. Но этот метод частенько приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому древние математики вывели формулу корней квадратного уравнения, которую можно применять при решении любого квадратного уравнения.
Можно получить эти формулы, решая квадратное уравнение в общем виде методом выделения полного квадрата.
Итак, рассмотрим квадратное уравнение общего вида , где .
Мы с вами определили, что знак дроби, записанной в правой части уравнения зависит от знака дискриминанта. Поэтому при решении этого уравнения возможны три случая.
Первый случай:
Вывод: уравнение , при , имеет два различных корня. Которые находят по формулам:
Обычно эти формулы объединяют в одну, записывая её следующим образом:
Второй случай:
Вывод: уравнение , при ,имеет единственный корень. Который вычисляется по формуле:
Третий случай:
Вывод: уравнение , при ,не имеет корней.
Таким образом: в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение , может иметь:
1. Два различных корня: . При .
2. Один корень: . При .
3. Не имеет корней. При .
Запишем алгоритм решения квадратных уравнений.
Задание: решить уравнения.
Обратите внимание, второй коэффициент в начальном уравнении чётный. Есть формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. С помощью неё удобнее вычислять корни. Давайте выведем её.
Давайте найдём корни последнего уравнения по новой формуле.
Итоги:
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
При решении квадратного уравнения возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта:
1) Если , то уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле: .
2) Если , то уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле .
3) Если , то уравнение не имеет корней.