Задачи на смеси и сплавы

Текстовые алгебраические задачи  представляют собой традиционный раздел элементарной математики. Интерес к нему вполне понятен. Решение задач подобного рода способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем они входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.

Основные допущения, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся смеси и сплавы однородны;

б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V₁ и V₂, получается смесь, объем которой равен V₁+ V₂,  т. е.  V₀= V₁+ V₂, причем последнее соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности; при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонентов.

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:

- концентрация (доля чистого вещества в сплаве / смеси);

- количество чистого вещества в смеси  (сплаве);

- масса смеси (сплава).

Пусть в смесь входят компоненты A, B, C с массами m_A, m_B, m_C.  Будем считать, что масса смеси равна сумме масс компонент, т. е. m=m_A+m_B+m_C.  Тогда концентрацией компоненты A по массе называется отношение массы этой компоненты к массе всей смеси.

Сумма всех концентраций, очевидно, равна единице.

Объемным процентным содержанием компоненты A называется величина

P_A= C_{A ·}100%

т. е. это концентрация  вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле

С_А=Р_А/100, аналогично С_В=Р_В/100, С_С=Р_С/100,

Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0,7.  О какой концентрации, объемной или массовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Задачи.

При решении задач удобно пользоваться наглядной моделью-схемой, в которой смесь (раствор, сплав) изображается в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соответствии с числом входящих в нее (в него) компонент, а непосредственно при составлении уравнения – проследить содержание какой-нибудь одной компоненты.

Пример 1. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы переплавив получить сплав, содержащий 50% меди ?

Решение. Пусть масса первого куска равна x г, а масса второго - y г. Составим  схему.

Зная, что сумма масс меди в исходных сплавах равна массе меди в новом сплаве, составим уравнение

0,42x+0.65y=0,5(x+y),

из которого x:y=15:6. Значит, нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15:6.

Ответ. 15:6.

Пример 2. [1] К 40%-ному раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальную массу раствора.

Решение. Введем обозначения: К – соляная кислота, В – вода. Пусть x г – первоначальная масса раствора.

Составим уравнение на основе подсчета массы соляной кислоты

0,4x+50=0,6(x+50),

Откуда x = 100.Первоначальная масса раствора  равна  100г.

Ответ. 100 г.

Пример 3. [1] Из 10 кг свежих фруктов получается 3,5 кг сушеных фруктов, содержащих 20% влаги. Чему равно процентное содержание влаги в свежих фруктах ?

Решение. Введем обозначения: СФ – сухофрукты, В – вода. Пусть в свежих фруктах содержится  x %  воды.

Составим уравнение на основе подсчета массы воды

0,1x-6,5=0,2·3,5,

Откуда x = 72.В свежих фруктах 72%  воды.

Ответ. 72 %.

Пример 4. [3] Имеются два сплава, состоящие из цинка меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в получившемся сплаве.

Решение. Если процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то оно равно 30%. Составим схему. Воспользуемся следующими обозначениями: С – цинк, М – медь, О – олово.

Задачу можно решить без уравнения. Масса олова в получившемся сплаве равна        150 · 0,4 + 250 · 0,44 = 170 (кг)

Ответ. 170 кг.

Литература.

1. Захарова А. Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы // Математика для школьников.-2006.-№3.-С.18-21.
2. Лурье, М. В. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство / М. В. Лурье, Б. И. Александров. - 3-е изд., перераб. – М. Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990-96с.
3. Цыганов Ш. И. Все задачи ЕГЭ по математике прошлых лет: Учебное пособие / Ш. И. Цыганов – 4-е изд., дополненное – Уфа: Центр педагогических измерений, 2008-324с.

Текстовые алгебраические задачи представляют собой традиционный раздел элементарной математики. Интерес к нему вполне понятен. Решение задач подобного рода способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем они входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.

Основные допущения, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся смеси и сплавы однородны;

б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V₁ и V₂, получается смесь, объем которой равен V₁+ V₂, т. е. V₀= V₁+ V₂, причем последнее соотношение является именно допущением, поскольку не всегда выполняется в действительности; при слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонентов.

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:

- концентрация (доля чистого вещества в сплаве / смеси);

- количество чистого вещества в смеси (сплаве);

- масса смеси (сплава).

Пусть в смесь входят компоненты A, B, C с массами m_A, m_B, m_C. Будем считать, что масса смеси равна сумме масс компонент, т. е. m=m_A+m_B+m_C. Тогда концентрацией компоненты A по массе называется отношение массы этой компоненты к массе всей смеси.

Аналогично для компонент B и C.

Концентрацией компоненты A по объему (объемной концентрацией) называется отношение объема чистой компоненты V_A в растворе ко всему объему смеси

Аналогично определяются концентрации других компонент рассматриваемой смеси

Сумма всех концентраций, очевидно, равна единице.

Объемным процентным содержанием компоненты A называется величина

P_A= C_{A ·}100%

т. е. это концентрация вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле

Аналогично

Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0,7. О какой концентрации, объемной или массовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Задачи.

При решении задач удобно пользоваться наглядной моделью-схемой, в которой смесь (раствор, сплав) изображается в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты в соответствии с числом входящих в нее (в него) компонент, а непосредственно при составлении уравнения – проследить содержание какой-нибудь одной компоненты.

Пример 1. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы переплавив получить сплав, содержащий 50% меди ?

Решение. Пусть масса первого куска равна x г, а масса второго - y г. Составим схему.

М Ц М Ц М Ц

x г y г (x + y) г

Зная, что сумма масс меди в исходных сплавах равна массе меди в новом сплаве, составим уравнение

0,42x+0.65y=0,5(x+y),

из которого x:y=15:6. Значит, нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15:6.

Ответ. 15:6.

Пример 2. [1] К 40%-ному раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найдите первоначальную массу раствора.

Решение. Введем обозначения: К – соляная кислота, В – вода. Пусть x г – первоначальная масса раствора.

К В К К В

x г 50 г (x + 50) г

Составим уравнение на основе подсчета массы соляной кислоты

0,4x+50=0,6(x+50),

Откуда x = 100.Первоначальная масса раствора равна 100г.

Ответ. 100 г.

Пример 3. [1] Из 10 кг свежих фруктов получается 3,5 кг сушеных фруктов, содержащих 20% влаги. Чему равно процентное содержание влаги в свежих фруктах ?

Решение. Введем обозначения: СФ – сухофрукты, В – вода. Пусть в свежих фруктах содержится x % воды.

СФ В В СФ В

10 кг 6,5 кг 3,5 кг

Составим уравнение на основе подсчета массы воды

0,1x-6,5=0,2·3,5,

Откуда x = 72.В свежих фруктах 72% воды.

Ответ. 72 %.

Пример 4. [3] Имеются два сплава, состоящие из цинка меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в получившемся сплаве.

Решение. Если процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то оно равно 30%. Составим схему. Воспользуемся следующими обозначениями: С – цинк, М – медь, О – олово.

Ц М О Ц М О Ц М О

150 кг 250 кг 400 кг

Задачу можно решить без уравнения. Масса олова в получившемся сплаве равна 150 · 0,4 + 250 · 0,44 = 170 (кг)

Ответ. 170 кг.

Литература.

1. Захарова А. Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы // Математика для школьников.-2006.-№3.-С.18-21.

2. Лурье, М. В. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство / М. В. Лурье, Б. И. Александров. - 3-е изд., перераб. – М. Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990-96с.

3. Цыганов Ш. И. Все задачи ЕГЭ по математике прошлых лет: Учебное пособие / Ш. И. Цыганов – 4-е изд., дополненное – Уфа: Центр педагогических измерений, 2008-324с.