Задачи на нахождение угла

Решение задач на нахождение угла

(стереометрия)

2

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до AD 1 .

Треугольник ACD 1 – равносторонний.

D 1

С 1

Из CKA

В 1

А 1

1

К

?

D

С

60 0

1

А

1

В

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми A B 1 и B С 1 .

Заменим одну из заданных прямых BC 1 на параллельную прямую AD 1 .

Угол между BC 1 и А B₁ равен углу между параллельной прямой AD 1 и А B₁ .

D 1

С 1

∆ B ₁AD₁ - равносторонний и, значит, угол B₁AD₁ равен 60°.

В 1

А 1

D



С

А

В

Н-я

П-я

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1 .

Рассмотрим ортогональную проекцию AD ₁ прямой BD 1 на плоскость ADD 1 .

AD ₁ DA ₁

D 1

С 1

TTT

DA ₁ BD ₁

AD ₁ DA ₁

В 1

А 1

D

С

А

П-Р

В

Искомый угол между прямыми DA ₁ и BD 1 равен 90 ° .

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и CA 1 .

Заменим одну из заданных прямых AB на параллельную прямую B ₁ A 1 .

Угол между AB и C А ₁ равен углу между прямой C A 1 и А ₁ B₁ .

D 1

С 1

В 1



А 1

2

D

С

А

В

С 1

D 1

А 1

В 1



2

!

Если вы получите отрицательное значение косинуса, - это говорит о том, что угол тупой.

Вспомним, что в стереометрии углом между прямыми называют острый.

Перейти к острому углу просто.

D

С

В

А

В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD . Найдите косинус угла между прямыми BC и AE .

Решение.

В ∆ DBC проведем через точку E прямую ME // BC

Точка М – середина ребра DB .

Угол AEM - искомый.

D

Его можно найти из равнобедренного треугольника MAE .

Из ∆ СВ D :

Из ∆ АВ D :

E

0 ,5

M

С

0 ,5

A

1

В

В правильном тетраэдре ABCD точка E –середина ребра CD . Найдите косинус угла между прямыми BC и AE .

D

E

α

0 ,5

M

С

A

В

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD . Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE .

Чертеж и подсказка

2. В правильной шестиугольной призме A …. F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB ₁ и BC₁ .

Чертеж и подсказка

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD . Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE .

В ∆ DBS проведем через точку E прямую ME // BS

S

Угол AEM - искомый.

Из ∆ S В D :

Из ∆ A В D :

E

1

0,5

Из ∆ AEM :

Из ∆ ADS :

D

С

1

M

1

В

A

1

значит ∆ AEM прямоугольный

Ответ:

2. В правильной шестиугольной призме A …. F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB ₁ и BC₁ .

E 1

D 1

F 1

C 1

A 1

B 1

1

E

D

F

C

1

A

B