Метод координат в пространстве для школьников

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и ВC₁ Найти направляющие векторы прямых.

Найти косинус угла по формуле.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 2, высота – 4. Точка Е - середина отрезка CD, точка F –середина отрезка АD. Найти угол между прямыми CF и B₁E

2. Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D_1, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO:DD₁=1:5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Нахождение угла между плоскостями (Чертеж смотрите в документе)

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями (AD₁E) и (D₁FC), где Е и Fсередины ребер A₁B₁ и В₁C₁ соответственно

Составить уравнения плоскостей

Найти координаты векторов нормалей к плоскостям

Найти косинус угла между векторами нормалей

Задачи для самостоятельного решения:

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями (ACB₁) и (BA₁C₁)

2. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁=2:3. Найдите косинус угла между плоскостями АВС и ВЕD₁

Нахождение угла между прямой и плоскостью (Чертеж смотрите в документе)

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью (АВС₁) и прямой АВ₁

Составить уравнение плоскости

Найти координаты вектора нормали к плоскости

Найти координаты направляющего вектора прямой

Воспользоваться формулой (Смотрите документ)

Задачи для самостоятельного решения:

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ₁С)

2. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВЕ и плоскостью (SAD) , где Е – середина ребра SC

Нахождение расстояния от точки до прямой (Чертеж смотрите в документе)

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до прямой ВD₁ (Смотрите документ)

Задачи для самостоятельного решения:

В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти расстояние от точки F до прямой BG, где G – середина ребра SC

Нахождение расстояния от точки до плоскости (Чертеж смотрите в документе)

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины В₁, плоскость А₁ВС₁ делит диагональ В₁D

Составить уравнение плоскости

Найти координаты вектора нормали к плоскости

Воспользоваться формулой (смотрите в документе)

Задачи для самостоятельного решения:

1. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости (ВDА₁)

(Полную версию разработки смотрите в документе)

Типовые задачи

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и ВC₁ Найти направляющие векторы прямых

Найти косинус угла по формуле

Задачи для самостоятельного решения:

1.Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 2, высота – 4. Точка Е - середина отрезка CD, точка F –середина отрезка АD. Найти угол между прямыми CF и B₁E

2.Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D_1, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO:DD₁=1:5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Нахождение угла между плоскостями

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями (AD₁E) и (D₁FC), где Е и Fсередины ребер A₁B₁ и В₁C₁ соответственно

Составить уравнения плоскостей

Найти координаты векторов нормалей к плоскостям

Найти косинус угла между векторами нормалей

Задачи для самостоятельного решения:

1.В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями (ACB₁) и (BA₁C₁)

2.В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁=2:3. Найдите косинус угла между плоскостями АВС и ВЕD₁

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью (АВС₁) и прямой АВ₁

Составить уравнение плоскости

Найти координаты вектора нормали к плоскости

Найти координаты направляющего вектора прямой

Воспользоваться формулой

Задачи для самостоятельного решения:

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ₁С)

2. 2.В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВЕ и плоскостью (SAD) , где Е – середина ребра SC

Нахождение расстояния от точки до прямой

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до прямой ВD₁

Задачи для самостоятельного решения:

1. В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS , стороны основания которой равны 1, а

боковые ребра равны 2, найти расстояние от точки F до прямой BG, где G – середина ребра SC

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Задание: В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D.В каком отношении, считая от вершины В₁ , плоскость А₁ВС₁ делит диагональ В₁D

Составить уравнение плоскости

Найти координаты вектора нормали к плоскости

Воспользоваться формулой

Задачи для самостоятельного решения:

1.В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости (ВDА₁)