"Задачи на концентрацию, смеси и сплавы"

Готовимся к экзаменам. Решение задач на концентрацию, смеси, сплавы.

Задачам на концентрацию, смеси, сплавы в школьном курсе математики мало уделяется внимания. Но они часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и вызывают затруднения у учащихся.

При решении задач принимают такие допущения:

• процент величины - одна сотая часть этой величины;

• если число a составляет p % от числа b, то эти числа связаны равенством ;

• все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными;

• при соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов;

• если два сплава (раствора) соединяют в один сплав (раствор), то выполняются равенства: V=V₁+V₂ - сохраняется объем и m=m₁+m₂ - сохраняется масса.

• Объемная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема (массы) составляет данный компонент.

• Если сплав (раствор, смесь) имеет массу m и состоит из веществ A, B, C, массы которых соответственно , , , то величины , , называют концентрацией веществ A, B, C, а величины , , - процентным содержанием веществ. При этом справедливо равенство .

• Например, если имеется 40%-ный раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4 : 7, то массы всего этого сплава составляет свинец, а - медь, т. е., массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны и .

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

• Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

• Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.

• Составить математическую модель задачи и решить ее.

• Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы в виде:

Пример 1. В бидон налили 4 литра молока 3% жирности и 6 литров 6% жирности. Сколько % составляет жирность молока в бидоне?

Составляем уравнение:

0,12 +0,36=0,1х

Х=4,8.

Ответ: жирность молока в бидоне 4,8%.

Пример 2. В первом сосуде 500мл 70% раствора кислоты, во втором 200мл 90% раствора этой же кислоты. Сколько мл раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом получился 75% раствор кислоты?

Составляем уравнение:

+ = ,

350+0,9х=375+0,75х,

0,15х=25,

Х=.

Ответ: мл раствора нужно перелить из второго сосуда в первый.

Пример 3. Один раствор содержит 20% соляной кислоты, а второй 70% кислоты по объему. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 литров 50% раствора?

Составляем уравнение:

+ = ,

0,2х+0,7(100-х)=50,

Х=40.

100-40=60.

Ответ: 40л первого раствора и 60л второго нужно взять.

Пример 4. Из сосуда, содержащего 10 % спирт, отлили одну треть, долили воды допервоначального объема. Сколько процентов спирта в данном сосуде?

Составляем отношение:

Ответ: 8% спирта.

Пример 5. Свежие грибы содержат 90% воды (по массе), а сухие -12% воды. Сколько получится сухих грибов из22 кг свежих и сколько надо собрать свежих, чтобы получить 200г сухих?

Составляем уравнение:

,

0,88х=2,2,

Х=2,5.

Составляем уравнение:

,

0,1х=176,

Х=1760.

Ответ: получится 2,5кг сухих грибов и потребуется 1760г сырых.

Пример 6. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Составляем уравнение:

,

328=0,8х,

Х=410.

Ответ: 410кг.

Пример 7. Первый сплав серебра и меди содержит 430г серебра и 70г меди, а второй сплав – 210г серебра и какое – то количество меди. Сплавили кусок первого сплава с куском массой 75г второго сплава и получили 300г сплава, который содержит 82% серебра. Определите массу (в граммах) второго сплава.

Составляем уравнение:

=,

193,5+=246,

,

52,5х=4725,

Х=90, 210+90=300(г).

Ответ: 300г масса второго сплава.