Взаимно обратные функции

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 246

Приморского района Санкт - Петербурга 

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

для 10 класса

по теме:

«Взаимно-обратные функции»

Цели урока:

Образовательные:

• Систематизировать и обобщить знания обучающихся по теме «Степенная функция, её свой­ства и график», изученной на предыдущих уроках, повторить знания, полученные при изу­чении в 9 классе темы «Функция».

• Познакомить обучающихся с понятием взаимно - обратных функций, условиями существо­вания обратной функции, ее свойствами, сформировать умения необходимые для построения графика обратной функции.

• Создать условия для самоконтроля и взаимоконтроля знаний обучающихся.

Развивающие:

• Развивать творческую самостоятельность мышления обучающихся, их интеллектуальные ка­чества: способность к «видению» проблемы.

• Развивать научную аргументированную речь, умение чётко и ясно излагать свои мысли, исследовать, анализировать, сравнивать, делать выводы, доказательно воспроизводить в процессе дея­тельности.

• Развивать коммуникативные навыки общения и умения слушать и слышать.

• Создать условия для освоения приемов использования новых информационных технологий на уроке.

Воспитательные:

• Создать условия для становления субъектной позиции обучающихся в различных формах учебного сотрудничества.

• Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.

• Воспитывать самостоятельность, аккуратность и добросовестность при выполнении зада­ний.

• Воспитание внимания, самоконтроля, интереса к предмету.

Оборудование:

• Магнитно-маркерная белая доска

• Компьютер

• Мультимедийный проектор Hitachi CP-X3010E

• Интерактивная приставка к маркерной доске Mimio Xi Professional

• Слайдовая анимированная презентация на электронном носителе.

Тип урока: комбинированный

Формы организации учебной деятельности: полилог, работа с текстом слайда,

индивидуальная исследовательская работа в тетрадях.

Методы: наглядный, словесный, графический, исследовательский.

Этапы урока:

1. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности. 2 мин

2. Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». 11 мин

3. Этап объяснения нового материала. 10 мин

4. Физкультминутка. 2 мин

5. Этап закрепления. 12 мин

6. Контроль знаний 5 мин

7. Задание на дом. 1 мин

8. Рефлексивно-оценочный этап. 2 мин

Ход урока

1. Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности

Всем добрый день. Рада вновь видеть вас на своем уроке. Сегодня нам с вами предстоит сис­тематизировать и обобщить знания, полученные на предыдущих уроках теме «Степенная функция, её свойства и график», а также вспомнить всё то, что узнали в 9 классе при изучении темы «Функ­ция».

Ну а затем познакомиться с понятием взаимно-обратных функций, изучить условия суще­ствования обратной функции, ее свойства, научиться строить графики обратных функций. Поже­лаем друг другу успехов и плодотворной работы.

2. Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики»

Отложите на край стола (лицевой стороной вниз) тестовые бланки. После работы с новым мате­риалом, мы продолжим работу с убранными листами.

3. Изучение нового материала. Обучающая беседа с элементами исследования и демонстрацией.

Мы разобрали два примера функций, когда каждому значению функции соответствует одно значение аргумента. Для таких функций можно выразить не только прямую, но и обратную зависимость, т.е. зависимость значений аргумента от значений функции.

Рассмотрим один из примеров такой зависимости – это зависимость скорости движения тела, брошенного вверх с некоторой начальной скоростью от времени движения.

4. Физкультминутка

Пришло время отдохнуть 2 минутки:

Для улучшения мозгового кровообращения :

1. И.п.- сидя на стуле. 1-2 – плавно наклонить голову назад, на счёт 3-4 – голову наклонить вперёд и вернуть в и.п, плечи не поднимать. Повторить 4-6 раз, темп медленный.

2. И.п.- сидя, руки на поясе. 1-поворот головы направо, 2 – и.п. 3 – поворот головы налево. 4 – и.п. Повторить 6-8 раз. Темп медленный.

3. И.п. – стоя или сидя, руки на поясе. 1 – махом левую руку занести через левое плечо, голову повернуть налево, 2 – и.п. 3-4 – то же выполнить правой рукой. Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

Гимнастика для глаз

1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. повторить 4-5 раз.

2. Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть их и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4—5 раз.

3. В среднем темпе проделать 3-4 круговых движений глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабить глазные мышцы, посмотреть вдаль на счёт 1 – 6. Повторить 2-3 раза.

5. Закрепление знаний

Продолжаем работу в парах. На столе лежат листы на которых изображены графики неко­торых функций. Каждый из вас строит один из графиков, а затем передаёт соседу по парте для проверки. После окончания выполнения задания, проверки и взаимоконтроля, вы как всегда сможете проверить результат на соответствующем слайде..

Проверим выполнение задания с помощью анимированного слайда.

6. Контроль знаний.

В заключении урока вам предстоит выполнить небольшую обучающую самостоятельную работу, представленную на слайде.

Возьмите тестовые листы с ответами «Графического лото», и продолжите работу. В вашем распоряжении 5 минут.

Завершайте свою работу.

Поменяйтесь листами с соседом, приступаем к взаимопроверке.

При проверке первого задания достаточно просто сверить получившееся число со слайдом.

Для проверки последующих заданий также можно воспользоваться слай­дами.

Передайте листочки на первую парту.

6. Задание на дом: В дневниках запишите задание на следующий урок.

1. Рефлексивно-оценочный этап

Традиционно подводим итог урока. Пожалуйста, желающие могут сказать несколько слов.

Спасибо за урок!

Тестовый лист

Ученика (цы) 10 класса______________________________ ВАРИАНТ 1

1. Ответ графического лото:

1. Самостоятельная работа

Задание 3:

Тестовый лист

Ученика (цы) 10 класса______________________________ ВАРИАНТ 2

1. Ответ графического лото:

1. Самостоятельная работа.

Задание 3:

1 0 к л а с с

Функции и их графики

(обобщающее повторение по пройденному материалу)

Какой из графиков соответствует графику функции

у= х ?

у

у

у

у

1.

3.

х

х

х

х

2.

у

4.

у

х

х

Какой из графиков соответствует графику функции у=х 3 ?

1.

3.

2.

4.

Какой из графиков соответствует графику функции ?

3.

1 .

4.

2.

Какой из графиков соответствует графику

функции ?

1.

3.

4.

2.

Какой график соответствует функции?

у

у

а

б

2

2

1

1

х

х

- 1

- 1

- 2

1

1

0

0

- 1

- 2

- 2

у

г

у

в

2

1 группа: ответ а) объясняют почему

1

2

х

- 1

1

0

1

х

- 1

- 2

0

1

- 2

- 1

- 2

Какой график соответствует функции ?

у

у

а

б

2

2

1

1

х

- 1

1

0

- 2

х

- 2

- 1

1

- 1

0

- 1

- 2

- 2

у

в

у

г

2 группа: ответ а)

2

2

1

1

х

- 2

- 1

- 1

1

0

х

- 1

1

0

-2

- 2

Какой график соответствует функции ?

у

б

2

у

а

2

- 1

- 3

х

0

х

3

1

0

у

у

г

в

3 группа: ответ а)

х

- 1

- 3

х

0

0

1

3

- 2

- 2

Какой график соответствует функции ?

у

а

у

б

2

х

0

2

- 2

0

х

- 2

в

у

г

у

4 группа: ответ а)

2

2

х

х

0

-2

2

0

Какой функции соответствует график? 1 . у = х 3 2 . 3 . у = х 4 4 . у = х -2 5 . 6 . у = х -1

у

г

в

у

у

у

б

а

х

х

х

х

д

е

у

у

х

х

1

г

2

е

3

а

4

5

д

б

6

в

Графическое лото.

у

у

1

у

2

у

4

3

1

1

1

х

0

1

0

х

1

-1

0

х

-1

1

1

0

х

у

у

у

5

у

6

8

1

7

1

1

1

1

х

0

х

0

1

9

1

0

х

1

0

х

№ 1 1) у = х -0,7 2) у = х -7 3) у = х 4) у = х 7 5) у = х 0,6

6) у = х 3,14 7) у = х 8 8) у = 1 9) у = х -6

№ 2

1) у = х -8 2) у = х 6 3) у = х 4) у = х 9 5) у = х 2,04

6) у = х 0,3 7) у = х -5 8) у = 1 9) у = х -0,2

• Функция ?

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу f число у , то, говорят, что на этом множестве определена функция.

y

y = f ( x )

E ( f )

0

х

x

D ( f )

Укажите область определения данной

на графике функции

D(y)=(-:0) U(0;+)

Укажите область определения данной

на графике функции

D(y)= [-4;2]

Укажите область значений данной на графике функции

Е (y)=(- ; 2 ) U( 2 ;+)

Обратная

Задача.

Дано: у = f (x), у.

Найти значение х при заданном значении у .

Задача.

Прямая

Дано: у = f ( x ), x .

Найти значение у при заданном значении х .

Дано: у = 3 х + 1

Найти: у ( -2 )

Решение:

у ( -2 ) = 3 · (- 2) + 1 = - 5

Ответ: у ( -2 ) = - 5

Дано: у = - 7 х + 3 ,5 , у (х) = - 11, 2

Найти: х

Решение:

- 11,2 = - 7 х + 3 ,5

7 х = 14,7

х = 2 , 1

Ответ: у ( -11,2 ) = 2 ,1

Рассмотрим функцию зависимости скорости движения тела, брошенного вверх с начальной скоростью от времени движения t

• Дано:

Обратимая функция

Найти: t - ?

Решение:

, т.е.

Обратная функция к v ( t )

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х , то эту функцию называют обратимой.

Обратимые функции

Необратимая функция

Пусть у = f ( x ) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f ( x ) = y . Это соответствие определяет функцию х от у , которую обозначим х = g ( y ). Поменяем местами х и у : у = g ( x ).

Функцию у = g ( x ) называют обратной к функции у = f ( x ).

Найти функцию, обратную данной у = g ( x )

(1)

Дано:

Решение:

Ответ:

(2)

Если функция (2) обратна к функции (1), то такие функции называют взаимно-обратными.

у

у

2

0

0

2

х

х

Найти область определения и множество значений для данных функций.

• D (у)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞ )
• Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞ )

• D (у)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞ )

2. Е(у)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Область определения обратной функции g(x) совпадает с множеством значений исходной функции f ( x ), а множество значений обратной функции g(x) совпадает с областью определения исходной функции f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Монотонная функция является обратимой:

• если функция f (x) возрастает, то обратная к ней функция g (x) также возрастает;
• Если функция f (x) убывает, то обратная к ней функция g (x) также убывает.

Дано: у = х 3

Решение:

Построить график данной функции, выразите формулу функции обратной данной и постройте её график.

у

0

х

Решение:

Дано: у = х 3

Построить график данной функции, выразите формулу функции обратной данной и постройте её график.

у

0

х

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х.

у

у = х

(х 0 ;у 0 )

у 0

(у 0 ;х 0 )

х 0

0

х

у

у

у= f(x)

y=x 2 ,х

у= g (x)

3

0

3

0

-2

х

х

-2

• D(f)=R
• E(f)=R
• возрастающая

• D(y)=(- ∞;0]
• E(y)=[0;+ ∞)
• убывающая

• D(y)=[0;+ ∞)
• E(y)=(- ∞;0]
• убывающая

• D( g )=R
• E( g )=R
• возрастающая

Построить график функции, обратной данной.

у

у

1

1

1

х

1

0

х

0

Обучающая самостоятельная работа

II вариант

I вариант

• Найти функцию, обратную к данной:

• Найти функцию, обратную к данной:

у=-7х+2 .

2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

у=4х-3 .

3. Построить график функции, обратной к данной:

у=-4х+3 .

2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

у=5х-1 .

3. Построить график функции, обратной к данной:

.

.

у

у

3

.

.

3

х

0

-2

1

-2

1

х

0

Ответы

II вариант

I вариант

№ 1 796 514 238

№ 2 215 694 738

• У=

• У=

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

3.

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

3.

3-х

2-х

4

7

.

.

у

у

3

.

.

3

.

.

1

-2

1

-2

0

х

0

х

Задание на дом:

изучить стр. 46-50,

решить № 132, № 133, № 134

по желанию №129(4),184(2)

• На уроке я научился(лась)………………………….
• На уроке мне интересно было …………………....
• Трудно было ………………………………………….
• Знания, полученные на уроке, я могу использовать …………………………………………

Р е ф л е к с и я: