Материал по математике на тему "Укрупнение дидактических единиц в преподавании математике"

6

ГБПОУ Пензенской области «Пензенский колледж управления и промышленных технологий им. Е. Д. Басулина»

Методическая разработка

на тему: Укрупнение дидактических единиц в преподавании математики.

Выполнила: преподаватель математики Илюшина Т.В.

Пенза – 2014УДЕ – СИСТЕМНОСТЬ ЗНАНИЙ

Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

УДЕ – это локальная система понятий, объеденных на основе их смысловых логических связей, образующих целостно усваиваемую единицу информации.

Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общно, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);

2. обеспечение единство процессов составления и решения задач (уравнений и неравенств);

3. рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);

4. обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного задания;

5. выявление сложной природы математического знания, достижения системности знаний;

6. реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательными компонентами).

Применение указанных методов действительно оказывается более результативным по сравнению с «измельчением без меры» учебного материала при этом создаются условия для проявления фундаментальных закономерностей мышления, а именно:

1. закона единства и борьбы противоположностей;

2. перемежающегося противопоставления контрастных раздражителей;

3. принципа обратных связей, системности и цикличности процессов, обратимости операций;

4. перехода к сверхсимволам, то есть оперирование более длинными последовательностями символов.

Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного знания, может выступить общий графический образ, общность символов для группы формул, наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и т.п.

Например:

Переместительные законы

сложения и умножения

3 + 4 = 4 + 3

+ = + · = ·

a · b = b · a

a + b = b + a

a · b = b · a

Укрупненное введение новых знаний позволяет:

- применять обобщение в текущей учебной работе на каждом уроке;

- устанавливать больше логических связей в материале;

- выделять главное и существенное в большой дозе материала;

- понимать значение материала в общей системе ЗУН;

- выявлять больше межпредметных связей;

- более эмоционально подать материал;

- сделать более эффективным закрепление материала.

ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ»

Цель урока: Организовать деятельность студентов по восприятию, осмыслению и закреплению новых знаний показательной и логарифмической функции, их свойств и графиков.

Задачи урока:

• Учиться отличать показательную и логарифмическую функцию от других функций, в частности от степенной функции.

• Учиться строить график показательной и логарифмической функции.

• Знать свойства показательной и логарифмической функции.

• Выяснить значение показательной и логарифмической функции в природе и технике.

• Применять полученные знания в простейших ситуациях.

• Развивать логическое мышление, умение объяснять свою точку зрения.

• Развивать умение проводить самопроверку и самооценку.

Подготовка к уроку:

1. подготовить презентацию

2. дать исследовательские задания учащимся

3. подготовить листы самооценки и рефлексии

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, презентация Power Point «Показательная функция», карточки самооценки, учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования» под редакцией Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко.

План урока

1. Организационный момент.

2. Подготовительный этап (проверка домашнего задания).

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление.

5. Домашнее задание.

6. Итог урока.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня мы познакомимся с новыми функциями: показательной и логарифмической, узнаем их свойства, построим их графики, введем понятие логарифма.

В дальнейшем научимся решать уравнения и неравенства, содержащие эти функции.

2. Подготовительный этап.

Проверка домашнего задания.

Дома вы выполняли построение графиков ; ; ; .

Показываются через проектор с помощью компьютера графики функций ; ; ; .

у у = 2^х у у = 3^х

1 1

0 х 0 х

у у

1 1

0 х 0 х

Вопрос 1. Что общего у этих функций?

Ответ: D (f) – область определения одинаковая.

E (f) – область значения одинаковая.

Точка пересечения общая – (0; 1).

Они не пересекают ось ОХ выше точки (0; 1).

Вопрос 2. В чем различие этих функций?

Ответ: Если , то функция убывает. Если , то функция возрастает.

Значит, отличие состоит в том, что функции и возрастают, а функции и убывают.

Вопрос 3. На доске записаны выражения: ; ; ;

; ; .

Как называются правые части этих выражений? (Степени).

Назовите компоненты степеней.

Ответ: Основания – . Показатель -.

Вопрос 4. Чему равны значения выражений: ?

Ответ: .

Вопрос 5. Назовите обратные к данным функции: на ; на ; на .

Ответ: ; ; ; .

Вопрос 6. Как связаны обратимые и обратные функции? (Теорема).

Ответ: Если функция монотонно возрастает или убывает, то она имеет обратную функцию, которая тоже будет убывать или возрастать на своей Д(f).

Вопрос 7. Что можно сказать о графиках таких функций?

Ответ: Графики симметричны относительно прямой у = х.

у

0 х

3. Изучение нового материала.

Итак, откроем тетради, разделим лист на 2 части:

Показательная функция

Если в рассмотренных дома степенных функциях заменить значения оснований на а, то получим определение: функция вида , где , , называется показательной.

Это название она получила за то, что аргумент функции находится в показателе.

Свойства

Перечисляет и комментируетстудент, остальные записывают в тетрадь, а учитель на доске.

1. D(у) = R

2. E(y) = R

3. Убывающая Возрастающая

4. Если х = 0, то у = 1

Если х х

то у 1. то 0 у

Если х 0, Если х 0,

то 0 у у 1.

5. Наибольшее и наименьшее значения функций не существуют.

Построим ещё раз графики функций и .

у у = 2^х

1

0 х

Логарифмическая функция

Выясним, является ли показательная функция обратимой? Да, она имеет обратную к ней функцию, т. К. монотонно возрастает и убывает. Найти обратную функцию для у = а^х. Выразим х через у: х=log_ay, переобозначим для удобства и получим у=log_aх, где а 0, a ≠ 0, x0.

log_aх – логарифм числа х по основанию а.

Логарифмом числа у по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число у: .

Определение: функция, заданная формулой у=log_ax, называется логарифмической – это обратная к показательной функция.

Свойства

1. D(у) = (0; +∞)

2. E(y) = R

3. Убывающая Возрастающая

4. Если х = 1, то у = 0.

Если х1, то ух1, то у0.

Если 0хх

то у0. то у

5. Наибольшее и наименьшее значения функций не существуют.

Построим и сравним графики функций

у = 2^х и ; у = и

График представляет собой кривую, которая близко проходит к оси ОХ, а с увеличением (уменьшением) значения х идет вверх.

Графики симметричны относит. оси ОУ.

у = 2^х – возрастающая;

у = – убывающая.

у у = 2^х

₁

0 1 х

у

1 у =

0 1 х

Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Построим графики функций и

у

_{0 1} х

4. Первичное закрепление.

Даны функции и графики.

Задание: выбрать какой график к какой функции относится

.

1) у 2) у 3) у 4) у

1 1

_{0 1} х ₀ х ₀ х _{0 1} х

Назовите свойства этих функций по их графикам.

Подведем итоги.

График функции расположен выше оси ОХ (правее оси ОУ).

Областью определения (значений ) является множество действительных чисел.

Областью значений (определения ) является множество положительных чисел (0; +∞).

Самостоятельная работа на листочках

1. Записать обратные для функций:

у = 3^х

2. Среди функций выбрать показательные и логарифмические.

а) у = 2^х г) ж)

б) у = х² д) у = х з) у = 3^-х

в) у = (-3)^х е) у = (х – 2)^х и)

к)

3. Среди данных функций выбрать возрастающие и убывающие (поставьте стрелочки - возрастающая; - убывающая).

а) у = 5^х е)

б) у = (0,5)^х ж)

в) з)

г) у = 10^х и)

д)

4. Сравнить с 1:

а) 2^-5 г)

б) д)

в) е) 3^-2

Сравнить с 0:

а) в)

б) г)

Листочки проверить (взаимоконтроль, обмен листочками).

Итоговые вопросы.

1. С какими функциями вы познакомились?

2. Что вы узнали об их свойствах, графиках?

3. Что называется логарифмом числа?

Домашнее задание: п. 11, 18. №№ 192, 195, 196, 199 (2); 318 – 320, 322 (2).

Применять УДЕ в колледже на 1 курсе. Успешно применяется технология укрупнения дидактических единиц для таких тем, как:

1. Цилиндр и конус.

2. Исследование тригонометрических функций у = sin x и у = cos x; y = tg x и y = ctg x.и др.