Урок по теме " Понятие производной"

Урок по математике в 10 классе (учебник Мордкович А. Г.)

Тема: «Понятие производной»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели: а) образовательные - ввести понятие производной, получить основные формулы дифференцирования;

б) воспитательные - воспитывать чувство ответственности и самостоятельности;

в) развивающие- развивать логическое мышление, умение применять на практике ранее полученные знания при изучении нового материала.

План урока.

I. Мотивационный этап.

II.Введение понятия:

а) геометрическая иллюстрация изменения приращения функции;

б) определение касательной к графику функции;

в) определение производной функции;

III.Контрольный этап (нахождение производных некоторых функций).

I.Задача: требуется огородить участок земли прямоугольной формы проволокой длины 100 метров так, чтобы его площадь была наибольшей.

Предложить учащимся назвать измерения прямоугольника с периметром 100 метров, иллюстрируя предложения:

600

525

400

625

20м 15м 10м 25м

Вопросы. При каких размерах участка его площадь будет наибольшей? Существует ли прямоугольник с площадью большей, чем 625 квадратных метров? Если не существует,то как это доказать?

Учащиеся приходят к выводу, что традиционными приемами эта задача не решается. Вопрос остается открытым. Предложить учащимся вернуться к решению данной задачи позже, изучив новый раздел курса «Производная».

II. Задача: используя индуктивный метод, сформулировать определение производной функции. Этому способствует решение следующего упражнения: выразить приращение функции через приращение аргумента, найти угловой коэффициент секущей к графику функции, проходящей через точки с абсциссами и x , дать графическую иллюстрацию.

f(x)= ; =0,5.

1.f( )= .

2.f( + )= +2 +

3. f=2 +

4. = 2

Данный алгоритм отработан на предыдущих уроках.

Дальнейшие вычисления сведены в таблицу:

↓ ↓

0 1

Вывод:если то 1 =1 угловой коэффициент секущей равен 1)

Если то 2 .

Г рафическая иллюстрация. Задание.Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и проходящей через точку

(0.5; 0.25). Изобразить прямую в координатной плоскости. Как будут расположены данная прямая и парабола?

Решение: уравнение прямой y=kx+b, с учетом условий задания 0.25=1 0.5+b, откуда b=-0.25.

Искомая прямая y=x-0.25. По аналогии с касательной к окружности, учащиеся после построения называют данную прямую касательной. Записываем определение касательной к графику функции и производной функции в точке.

Определение. Прямая, проходящая через точку( f )) , с отрезком которой практически сливается график функцииy=f(x) в некоторой окрестности точки , называется касательной к графику функции в точке( f )).

По итогам практической работы формулируем вывод: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке( f )) равен числу, к которому стремится отношение приращения функции в точке с абсциссой к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к 0, то есть А, если 0. Тогда становится доступно определение производной функции в точке .

Определение. Число, к которому стремится разностное отношение = при

, если А-«производная»

Такой порядок рассуждений готовит учащихся к осмыслению не только определения производной функции в точке, но и ее геометрического смысла.

III. Контрольный этап. Позволяет судить о степени усвоения понятия по умению записывать формулы производных конкретных функций с использованием алгоритма. Оценка работы учащихся на данном этапе - качественная. Итог-получение набора формул дифференцирования.

Это работа с функциями: f(x)=x, f(x)= , f(x)= , f(x)= , f(x)=1/x, f(x)=С.

Пример: найти производную функции f(x)= .

1.f( )= .

2.f( + )= +3 +3 +

3. f=3 +3 +

4. = 3 +3 +

5.Если 3

Вывод:f’( )=3 или )’=3

В ходе фронтальной работы получаем формулы дифференцирования: С’=0, =1, ,

( )’ =3 , ( )’ = , (1/x)’ = -

Задание учащимся их выучить. Итак, на данном этапе оценка деятельности учащихся качественная, выражающаяся в умении вывести формулы. На последующих занятиях, по мере изучения правил дифференцирования, формул дифференцирования тригонометрических функций, правила дифференцирования сложной функции с целью оценки и формирования умений и навыков на каждом занятии предлагаю набор тренировочных упражнений в форме диктанта. Самоконтроль, самооценка, гласность их результатов стимулируют ответственное отношение учащихся к изучению темы.

Набор заданий для самоконтроля и самооценки по теме: «Производная функции».

№1 №2 №3

(3 ) ’ (1/3 ) ’ (2/ ) ’

(2 ) ’ (2/ ) ’ (4 ) ’

(4/ ) ’ (3/ ) ’ (6 ) ’

(2 (5 -1/ ’ (4/

(2 ) ’ (1/ ’ (

( ) ’ (4 ’ (1/5 )’

(1+ ’ (8+3 ’ (3/

(4 ) ’ ( (1/ ) ’

5’ (1/3 ((

( ) ’ (-6/