Урок по теме "Квадратные уравнения"

Тема урока: «Формула корней квадратного уравнения».

Тип урока: - комбинированный

по дидактическим целям: урок ознакомления с новым материалом;

Оборудование: компьютер: мультимедийный проектор, доска.

Цели урока:

I.Обучающая:

• научить учащихся распознавать квадратные уравнения;

• ввести понятие дискриминанта, выяснить зависимость между D и корнями уравнений;

• научить учащихся исследовать КУ по дискриминанту и коэффициентам;

• познакомить с формулой корней квадратного уравнения и ее применением для решения КУ.

II.Развивающая:

• развивать умение уч-ся правильно оперировать полученными знаниями (терминами),речь учащихся;

• развивать креативность мышления учащихся (умение анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать);

• развивать навыки самостоятельной, исследовательской работы.

III.Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание чувства ответственности перед коллективом.

Структура урока:

1. Организационный момент-1 мин.

2. Актуализация прежних знаний учащихся – 10 мин.

3. Объяснение нового материала – 20 мин.

4. Закрепление изученного материала – 10 мин.

5. Подведение итогов урока – 3 мин.

6. Постановка домашнего задания – 1 мин.

Ход урока

I. Организационный момент. Проверка готовности класса, инструктаж по оценке психологического состояния.

II.Ознакомление учащихся с темой, целями и задачами урока в ходе выполнения самостоятельной работы «Кодированные упражнения».

- Мы с вами продолжаем наши исследования большой и одной из фундаментальных тем курса алгебры «Квадратные уравнения». И, чтобы расширить наши знания о них, приобретенные уже нами умения и навыки решения КУ, мы совершим путешествие во времени и пространстве.

1. Для систематизации знаний по решению неполных квадратных уравнений, я предлагаю вам объединиться в группы и составить следующую таблицу:

Ученики у доски делают вывод о числе корней неполных квадратных уравнений.

А вот с чем именно нам предстоит сегодня познакомиться, мы выясним во время путешествия.

Я хочу предложить вам небольшое задание в группах (по вариантам).

Из уравнений, написанных на доске, каждой группе нужно выбрать уравнения только определенного типа. И из соответствующих им букв составить слово.

Кодированные упражнения.

2. Выпишите неполные квадратные уравнения:

Оценка “5” - за все верно выполненные задания.

Оценка “4” - если допущено 1, 2 ошибки.

Оценка “3” - если допущено 3, 4 ошибки.

Оценка “2” - если допущено более 4 ошибок.

Ребята в парах выставляют оценки за работу на листах с заданиями.

III. Объяснение нового материала.

Евклид, в III век до н. э. отвел геометрической алгебре в своих «Началах» всю вторую книгу, где собран весь необходимый материал для решения квадратных уравнений. Он решал такие задачи, как найти сторону квадрата по его площади, или радиус круга по площади

Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения.

Диофант – греческий ученый в III век н.э., не прибегая к геометрии, чисто алгебраическим путем решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме. Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычисления, использовал сокращения слов.

Бхаскаре – Акариа – индийский математик в XII век н.э. открыл общий метод решения квадратных уравнений.

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.«Квадраты равны корням», т.е. ах² = вх.

2.«Квадраты равны числу», т.е. ах² = с.

3.«Корни равны числу», т.е. ах = с.

4.«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах² + с = вх.

5.«Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² + вх = с.

6.«Корни и числа равны квадратам», т.е. вх +с = ах².

Франсуа Виет — французский математик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения, но он признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

Все эти ученые упростили нашу с вами работу. У нас имеются готовые формулы и наша задача: научиться ими пользоваться.

б) С теоремой Виета мы встретимся чуть позже. А сегодня введем новое понятие.

Преобразуем квадратный трехчлен ах² + bх + с, выделим полный квадрат.

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание учащихся на д в а м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Указанные пункты позволяют предположить, что можно провести рассуждения о решении квадратного уравнения приёмом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.

Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на несколько шагов, записывая при этом на доске параллельно решение конкретного уравнения и уравнения общего вида.

Замечаем, что в левой части уравнения находится квадрат выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а² 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b² – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b² – 4ac Дискриминант происходит от лат. Discriminans – различающий. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней. Давайте выясним как? Может, кто-то уже увидел как D помогает определять число уравнений?

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы:

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу определения количества корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Желательно, чтобы учащиеся за урок выучили формулу D = b² – 4ac и хорошо усвоили алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

Первичное закрепление материала через применение формул для решения простейших КУ. Работа с учебником «Алгебра 8» под редакцией Ю.Н. Макарычева.

1. № 533.

а) D=9-8=1 D 0 – 2 корня

б) D=1-16=-15 D

в) D=36-36=0 D = 0, то 1 корень

г) D= 25+24=49=7², D 0 – 2 корня

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) х² – 5х + 9 = 0;

б) 3х² – 7х + 18 = 0;

3. Убедитесь, что уравнение имеет единственный корень, найдите этот корень:

а) х² – 8х + 16 = 0;

б) y² – 3y + 9 = 0;

4. № 535 (б, г)

-у²+3у+5=0 г) 1-18р+81р²=0

D= b² – 4ac =9+20=√29 D= b² – 4ac=324-324=0

x = . Х1=_{ } ; x = . Х=_{ }

Х2==_{ }

5. Обучающая самостоятельная работа № 535 (1в – в,д; 2в – а,е)

1 вариант 2 вариант

в) 2х²+х+67=0 а) 14х²-5х-1=0

D= b² – 4ac=1-67*8=-67*8 D= b² – 4ac =25+56=81=9²

D x = . Х1=_{ } ; Х2=_{ }

д) -11у+у²-152=0 е) 18+3х²-х=0

D= b² – 4ac=121+608=729=27² D= b² – 4ac=1-12*18=-12*18

x = . Х1=_{ } ; D

Х2=_{ }

V. Итоги урока.

Назовите формулы решения полных квадратных уравнений.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Отчего зависит количество корней квадратного уравнения?

Домашнее задание: № 534, № 536, № 537 (а, в).

Рефлексия

При решении уравнений можно использовать следующие мнемонические правила:

Квадрат двучлена, без сомнения,

равен сумме квадратов его одночленов и их удвоенного произведения

Разность квадратов, помни всегда, произведению суммы на разность равна.

3) Приемы запомни ты для души,

Уравнение трудное тоже реши:

Общий множитель вынеси за скобки 

Используй также способ группировки,

Знай формулы сокращенного умножения 

Владей навыками многочлена разложения.

4) Уравнение сможешь ты быстро решить:

а) Увидишь сумму – произведением заменить.

б) А произведение видишь, то не зевай,

Скорее суммой его заменяй

Увидел квадрат – степень понизь, 

Ну хоть за что-нибудь зацепись!

А если многочлены высших степеней,

Теорему Безу применяй поскорей:

Корень один ты устно найди

И на множитель с ним многочлен подели.

С некоторыми способами решения квадратных уравнений мы знакомы, а с остальными методами познакомимся далее в курсе алгебры. Счастливого пути и новых открытий.