Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Уроки  /  Урок математики "Решение логарифмических уравнений"

Урок математики "Решение логарифмических уравнений"

Методическая цель урока – применение игровых технологий при закреплении умений и навыков.
08.06.2014

Описание разработки

ЦЕЛИ УРОКА:

образовательная – повторение и закрепление теоретических знаний о логарифмах; выделение основных видов логарифмических уравнений и отработка способов их решения; формирование умений и навыков решения логарифмических уравнений;

развивающая – развитие познавательного интереса, способствующего организации после произвольного внимания; развитие абстрактно - логического и алгоритмического мышления, умения применять теоретические знания в новых ситуациях; развитие способности к запоминанию через структурирование информации и сознательное выделение элементов структуры при решении задач; формирование грамотной речи, включающей осознанно употребляемые освоенные математические понятия; развитие организаторских способностей; развитие творческой активности;

воспитательная – воспитание интереса к дисциплине, стремления к активной познавательной деятельности, инициативе и творчеству, умения работать в команде, чувства ответственности, уверенности в себе;

методическая – использование элементов игровых технологий при усвоении умений и навыков.

ТИП УРОКА комбинированный

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ  дидактическая игра

ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕ  СВЯЗИ

1. Тема 1. 2. Уравнения первой и второй степени

2. Тема 3. 2. Логарифмы и их свойства

3. Тема 3. 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции, их свойства и графики.

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ

 1. Дисциплина Физика

  Тема 3. 1. Электрическое поле

  Тема 4. 2. Электромагнитные колебания и волны

  Тема 5. 2. Физика атома и атомного ядра.

 2. Дисциплина Информатика

 Тема 5. 2. 2. Вычисление математических функций.

 Тема 5. 2. 3. Составление программ линейной структуры.

 Тема 5. 2. 5. Составление программ разветвляющейся структуры.

 Тема 5. 2. 7. Составление программ циклической структуры.

 3. Дисциплина Электротехника

 Тема 2. 1. Определение емкости цилиндрического конденсатора и двухпроводной линии электропередачи.

 4. Дисциплина Вычислительная техника

 Тема 2. 1. Типовые узлы и устройство вычислительной техники.

 5. Дисциплина Электронная техника

 Тема 3. 2. Транзисторные усилители.

МАТЕРИАЛЬНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

плакат «Два алгоритма решения логарифмических уравнений»;

рисунки логарифмической спирали и ее природных образов, выполненные курсантами (1 – 6);

25 листов А - 4 с заданиями для практического этапа занятия;

таблица результатов.

Курсант должен

знать:

понятие логарифмического уравнения;

основной алгоритм решения логарифмических уравнений;

основные виды логарифмических уравнений и способы их решения;

уметь:

потенцировать логарифмические равенства;

применять свойства логарифмов в ходе решения логарифмических уравнений, в частности, представлять произвольное число в виде логарифма по нужному основанию;

находить область допустимых значений (ОДЗ) переменной в логарифмических уравнениях и выполнять проверку решения с целью исключения посторонних корней, а также в каждом конкретном случае определять, какое из действий более рационально;

осуществляя замену переменной в логарифмических уравнениях, сводить их к квадратным, дробно - рациональным.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Приветствие, речь преподавателя:

«Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех нас. Очень хочу, чтобы тот, кто еще равнодушен к царице наук Математике, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что Математика – очень интересная и нужная дисциплина.

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «… учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя и будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, так как они очень нам понадобятся».

Сообщение темы и целей урока

Мотивация учебной деятельности

На прошлых уроках мы уже убедились в том, что логарифмы позволяют упростить многие вычисления благодаря замене умножения и деления сложением и вычитанием.

А знаете ли вы, что логарифмы окружают нас повсеместно? Благодаря рецепторам мы познаем мир с помощью зрительных, слуховых, обонятельных, осязательных и вкусовых ощущений. От яркого света мы жмуримся, от резкого запаха морщимся – сила наших ощущений S, безусловно, зависит от силы внешнего раздражителя G. Оказывается, S пропорциональна логарифму G : S = K*lg G + C, где K и C – постоянные.

Мы знакомы с графиком логарифмической функции в декартовой прямоугольной системе координат. Но в иной, полярной системе координат, график приобретает форму спирали. Удивительно, что эта линия очень часто встречается в природе: по логарифмической спирали растут раковины улиток, рога животных (горные козлы), по этой линии располагаются семечки в цветке подсолнуха, а некоторые пауки по ней плетут паутину. И, наконец, по такой спирали закручена наша Галактика (рисунки № 1 - 6).

Знания о логарифмах также будут применяться при изучении физики (изучение процесса радиоактивного распада, определение скорости затухания колебаний в контуре), электротехники (расчет электроемкости цилиндрических конденсаторов), информатики (разработка и программирование задач линейной структуры, а также задач с разветвляющейся и циклической структурой), вычислительной техники (изучение операционного усилителя, который в числе прочих операций осуществляет логарифмирование), электронной техники (расчет коэффициента усиления).

Актуализация опорных знаний

Группа делится на 2 команды. Члены команд поочередно формулируют приготовленные дома математические утверждения, касающиеся понятий «логарифм» и «уравнение», и визуально подкрепляют свои формулировки выполненными дома плакатами с формулами, схемами, алгоритмами.

Изложение нового материала

Уравнение называют логарифмическим, если неизвестная в нем содержится в подлогарифмическом выражении или основании логарифма.

Весь материал - смотрите документ.

Содержимое разработки

ТЕМА УРОКА Решение логарифмических уравнений


ЦЕЛИ УРОКА:

  1. образовательная – повторение и закрепление теоретических знаний о логарифмах; выделение основных видов логарифмических уравнений и отработка способов их решения; формирование умений и навыков решения логарифмических уравнений;

  2. развивающая – развитие познавательного интереса, способствующего организации после произвольного внимания; развитие абстрактно-логического и алгоритмического мышления, умения применять теоретические знания в новых ситуациях; развитие способности к запоминанию через структурирование информации и сознательное выделение элементов структуры при решении задач; формирование грамотной речи, включающей осознанно употребляемые освоенные математические понятия; развитие организаторских способностей; развитие творческой активности;

  3. воспитательная – воспитание интереса к дисциплине, стремления к активной познавательной деятельности, инициативе и творчеству, умения работать в команде, чувства ответственности, уверенности в себе;

  4. методическая – использование элементов игровых технологий при усвоении умений и навыков.


ТИП УРОКА комбинированный


МЕТОДЫ

ОБУЧЕНИЯ дидактическая игра

ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕ

СВЯЗИ

1. Тема 1.2. Уравнения первой и второй степени

2. Тема 3.2. Логарифмы и их свойства

3. Тема 3.3. Показательная, логарифмическая и степенная функции, их свойства и графики.


МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ

СВЯЗИ

1. Дисциплина Физика

Тема 3.1. Электрическое поле

Тема 4.2. Электромагнитные колебания и волны

Тема 5.2. Физика атома и атомного ядра.

2. Дисциплина Информатика

Тема 5.2.2. Вычисление математических функций.

Тема 5.2.3. Составление программ линейной структуры.

Тема 5.2.5. Составление программ разветвляющейся структуры.

Тема 5.2.7. Составление программ циклической структуры.

3. Дисциплина Электротехника

Тема 2.1. Определение емкости цилиндрического конденсатора и двухпроводной линии электропередачи.

4. Дисциплина Вычислительная техника

Тема 2.1. Типовые узлы и устройство вычислительной техники.

5. Дисциплина Электронная техника

Тема 3.2. Транзисторные усилители.

МАТЕРИАЛЬНОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ

  • плакат «Два алгоритма решения логарифмических уравнений»;

  • рисунки логарифмической спирали и ее природных образов, выполненные курсантами (1 – 6);

  • 25 листов А-4 с заданиями для практического этапа занятия;

  • таблица результатов.


Курсант должен


знать:

  • понятие логарифмического уравнения;

  • основной алгоритм решения логарифмических уравнений;

  • основные виды логарифмических уравнений и способы их решения;


уметь:

  • потенцировать логарифмические равенства;

  • применять свойства логарифмов в ходе решения логарифмических уравнений, в частности, представлять произвольное число в виде логарифма по нужному основанию;

  • находить область допустимых значений (ОДЗ) переменной в логарифмических уравнениях и выполнять проверку решения с целью исключения посторонних корней, а также в каждом конкретном случае определять, какое из действий более рационально;

  • осуществляя замену переменной в логарифмических уравнениях, сводить их к квадратным, дробно-рациональным.

ХОД УРОКА


  1. Организационный момент

Приветствие, речь преподавателя:

«Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех нас. Очень хочу, чтобы тот, кто еще равнодушен к царице наук Математике, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что Математика – очень интересная и нужная дисциплина.

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «… учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя и будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, так как они очень нам понадобятся».


  1. Сообщение темы и целей урока


  1. Мотивация учебной деятельности

На прошлых уроках мы уже убедились в том, что логарифмы позволяют упростить многие вычисления благодаря замене умножения и деления сложением и вычитанием.

А знаете ли вы, что логарифмы окружают нас повсеместно? Благодаря рецепторам мы познаем мир с помощью зрительных, слуховых, обонятельных, осязательных и вкусовых ощущений. От яркого света мы жмуримся, от резкого запаха морщимся – сила наших ощущений S, безусловно, зависит от силы внешнего раздражителя G. Оказывается, S пропорциональна логарифму G : S = K*lg G + C, где K и C – постоянные.

Мы знакомы с графиком логарифмической функции в декартовой прямоугольной системе координат. Но в иной, полярной системе координат, график приобретает форму спирали. Удивительно, что эта линия очень часто встречается в природе: по логарифмической спирали растут раковины улиток, рога животных (горные козлы), по этой линии располагаются семечки в цветке подсолнуха, а некоторые пауки по ней плетут паутину. И, наконец, по такой спирали закручена наша Галактика (рисунки № 1 - 6).

Знания о логарифмах также будут применяться при изучении физики (изучение процесса радиоактивного распада, определение скорости затухания колебаний в контуре), электротехники (расчет электроемкости цилиндрических конденсаторов), информатики (разработка и программирование задач линейной структуры, а также задач с разветвляющейся и циклической структурой), вычислительной техники (изучение операционного усилителя, который в числе прочих операций осуществляет логарифмирование), электронной техники (расчет коэффициента усиления).


4. Актуализация опорных знаний

Группа делится на 2 команды. Члены команд поочередно формулируют приготовленные дома математические утверждения, касающиеся понятий «логарифм» и «уравнение», и визуально подкрепляют свои формулировки выполненными дома плакатами с формулами, схемами, алгоритмами.


5. Изложение нового материала

Уравнение называют логарифмическим, если неизвестная в нем содержится в подлогарифмическом выражении или основании логарифма.

Рассмотрим простейший пример:

Чтобы решить это логарифмическое уравнение сначала пропотенцируем его, то есть приравняем подлогаримические выражения;

Решим полученное линейное уравнение:

Легко убедиться в истинности найденного корня:


(верно)


ОТВЕТ: - 1


Видим, что потенцирование - важная часть решения логарифмического уравнения, так как в результате уравнение существенно упрощается.

Решим более сложное уравнение:

Прежде чем выполнить потенцирование, приведем уравнение к виду:

Для этого в левой части применим свойство сложения логарифмов, а правую часть 3 представим в виде логарифма с заданным основанием 2:

Потенцируя, получим квадратное уравнение:

Корни квадратного уравнения находим по теореме Виета:

так как и , то ; .

Однако проверка первого корня показывает, что он посторонний, так как

не существует. Второй корень – истинный:



(верно)

ОТВЕТ: 1


Сделаем вывод: потенцирование не всегда приводит к уравнению, равносильному исходному. Поэтому каждый найденный корень следует подвергать проверке. Но есть альтернатива: нахождение ОДЗ переменной вместо проверки. В некоторых случаях это удобнее (преподаватель демонстрирует на вышеприведенном примере способ нахождения ОДЗ).

Далее преподаватель привлекает курсантов к составлению алгоритмов решения логарифмических уравнений и обобщает новые знания с использованием соответствующего плаката.

6. Первичное закрепление

Речь преподавателя: «Сегодня у нас необычный урок. Мы посвятим его 85-летию ВКМРПК. Сегодня вам предстоит проявить лучшие качества ума и воли и доказать, что вы с честью несете звание курсантов нашего славного колледжа. Разделившись на 2 команды, мы отправимся в мореплавание на двух кораблях. Цель экспедиции – обогащение. Мы поплывем в далекую страну за золотым кладом. Ведь вы понимаете, что в наши дни настоящим золотом, высшей ценностью является знание, информация. Выиграет та команда, которая привезет больше золота, то есть обогатится большими знаниями, опытом. А капитанами кораблей я предлагаю избрать тех курсантов, которые лучше всех отличились при повторении знаний о логарифмах и уравнениях» (назначаются капитаны).


6.1. Выполнение устного задания: даем названия кораблям

Курсантам обеих команд дается задание, состоящее в выборе нужных уравнений из предложенных в списке. Выберите:

  1. Уравнение, которое можно сразу, без предварительных преобразований, потенцировать;

  2. Уравнение, которое не имеет корней;

  3. Уравнение, которое явно имеет только один корень, причем отрицательный;

  4. Уравнение, в котором сразу можно применить формулу суммы или разности логарифмов;

  5. Уравнение, в котором удобно сделать замену переменной, сведя его к квадратному.

Каждый вариант ответа закодирован буквой:


1 команда


2 команда

Е

И

П

Г

Р

Ю

Е

Б

Н

Р

Из букв, кодирующих правильные ответы, последовательно складываются имена математиков: Непер и Бюрги.

Преподаватель: «Логарифмы были изобретены (независимо друг от друга) английским математиком Джоном Непером и швейцарским часовым мастером, математиком и астрономом Иоостом Бюрги приблизительно 400 лет назад. Теорию логарифмов развил именно Непер. Он разработал вычислительные методы, основанные на логарифмах, и составил подробные таблицы значений натуральных логарифмов. Итак, кораблю первой команды мы присвоим имя Непера, а второй – имя Бюрги.


6.2. Проведение соревнования между командами

Вступительное слово преподавателя: «Ну что ж, капитаны избраны, корабли названы славными именами. Пора отправиться в плавание! Выберем штурманов – ведущих членов команд» (выбираются или назначаются по три штурмана на каждую команду).

Капитаны и штурманы занимают отдельные рабочие места, расположенные ближе к учебной доске, и получают задания на листке:


конкурса

1 команда

2 команда

1

2

3

4


Каждое из трех первых заданий выполняется следующим образом. В течение минуты ведущие игроки совещаются: «капитан» распределяет между «штурманами» три вида действия, соответствующие разработанному общему алгоритму, а преподаватель в это время активизирует остальных курсантов («матросов»), побуждая их высказывать свои идеи. Первый, второй, третий «штурманы» последовательно выходят к доске и выполняют доверенную им часть решения уравнения. Каждый последующий имеет право исправлять ошибки предыдущего, а в заключении выходит «капитан», при необходимости корректирует и представляет группе решение уравнения. За каждый верно выполненный шаг решения команды получают одно очко.

Пока ведущие члены команд соревнуются у доски, «матросы» зарабатывают очки для своей команды, решая в своих тетрадях подобные уравнения:


№ конкурса

1 команда

2 команда

1.

1) log(2x-)=-1;

2) lg (2-5x)=1;

3) ln (5-x)=0.

1) log(3x+5)=;

2) ln (e-x)=1;

3) lg (3x-1)=0.


2.

1) log(3x-2)= log7;

2) log(2x)= log(3x+4);

3) log(5x+4)=log(3x+8).

1) log(3x+5)= log17;

2) log(2+x)= log(1-x);

3) log(6x-5)= log(5x-6).

3.

1) log(1-x)+ log(3-x)=3;

2) lg (x+) + lg (x-)=0;

3) lg (x-1)-lg (2x-11)=lg 2.

1) log(x-2)+ log(x+6)=2;

2) lg (x-1)+lg (x+1)=0;

3) ln (x-6x+9)=ln 3+ln (x+3)

4.

1) logx-2 logx+1=0;

2) logx+log2=2,5;

3) - =0.

1) logx-4logx+4=0;

2) logx+2 log3=3;

3) - =0.

Доп. задания.

1)log(2x-1)* logx= =2log(2x-1);

2)lg (6*5-25*20) –lg25=x

1)logx* log(3x-2)= - log(3x-2);

2)lg(2+x+4)=x-x*lg 5.


После представления «капитаном» решения очередного уравнения на доске преподаватель интересуется, сколько подобных задач за это время решили «матросы» и какие ответы получились. Поэтому «матросы» заинтересованы в том, чтобы как можно быстрее уловить общий принцип решения уравнения данного типа и решить правильно как можно больше таких уравнений. За каждый верный результат, полученный «матросом», его команде присваивается одно очко.

На втором задании «капитан» распределяет действия между «штурманами» уже по-другому. На третьем задании в роли «штурманов» пробуют себя другие курсанты. А четвертое задание является капитанским конкурсом. Его решение сначала устно планируется, после чего «капитаны» решают у доски, а остальные решают аналогичные уравнения в тетрадях, зарабатывая команде дополнительные очки. Количество очков каждый раз фиксируется на «табло». В заключении определяется команда – победитель по количеству набранных очков.


7. Подведение итогов, выставление оценок

Преподаватель помогает курсантам обобщить полученные знания, выделить самое существенное. Оглашение оценок за урок.

Все установленные цели урока считаю достигнутыми. С помощью наглядных средств обучения, примеров, иллюстрирующих междисциплинарные связи, а также средствами дидактической игры, реализована задача развития интереса к дисциплине. Использование метода алгоритмизации позволило разбить сложный процесс решения задачи на элементарные шаги, приводящие к результату, ускорив выработку умений и навыков. Метод дидактической игры помог активизировать умственную деятельность курсантов. Активное использование групповой работы позволило успешно реализовать все заявленные воспитательные цели урока.

Результат – высокое качество усвоенных знаний, сформированных умений и навыков, что подтверждается высокими оценками, выставленными за урок («отлично» - 7 человек, «хорошо» - 8 человек, «удовлетворительно» - 3 человека).


8. Домашнее задание

Алгебра и начала анализа (под ред. Г.Н. Яковлева), с.198-202, упр. № 5.16 (а, в, г, ж).


8



-75%
Курсы повышения квалификации

Профессиональная компетентность педагогов в условиях внедрения ФГОС

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1000 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Урок математики "Решение логарифмических уравнений" (0.2 MB)