Урок математики "Решение логарифмических уравнений"

1. Организационный момент

Приветствие, речь преподавателя:

«Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех нас. Очень хочу, чтобы тот, кто еще равнодушен к царице наук Математике, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что Математика – очень интересная и нужная дисциплина.

Французский писатель Анатоль Франс заметил: «… учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя и будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, так как они очень нам понадобятся».

1. Сообщение темы и целей урока

1. Мотивация учебной деятельности

На прошлых уроках мы уже убедились в том, что логарифмы позволяют упростить многие вычисления благодаря замене умножения и деления сложением и вычитанием.

А знаете ли вы, что логарифмы окружают нас повсеместно? Благодаря рецепторам мы познаем мир с помощью зрительных, слуховых, обонятельных, осязательных и вкусовых ощущений. От яркого света мы жмуримся, от резкого запаха морщимся – сила наших ощущений S, безусловно, зависит от силы внешнего раздражителя G. Оказывается, S пропорциональна логарифму G : S = K*lg G + C, где K и C – постоянные.

Мы знакомы с графиком логарифмической функции в декартовой прямоугольной системе координат. Но в иной, полярной системе координат, график приобретает форму спирали. Удивительно, что эта линия очень часто встречается в природе: по логарифмической спирали растут раковины улиток, рога животных (горные козлы), по этой линии располагаются семечки в цветке подсолнуха, а некоторые пауки по ней плетут паутину. И, наконец, по такой спирали закручена наша Галактика (рисунки № 1 - 6).

Знания о логарифмах также будут применяться при изучении физики (изучение процесса радиоактивного распада, определение скорости затухания колебаний в контуре), электротехники (расчет электроемкости цилиндрических конденсаторов), информатики (разработка и программирование задач линейной структуры, а также задач с разветвляющейся и циклической структурой), вычислительной техники (изучение операционного усилителя, который в числе прочих операций осуществляет логарифмирование), электронной техники (расчет коэффициента усиления).

4. Актуализация опорных знаний

Группа делится на 2 команды. Члены команд поочередно формулируют приготовленные дома математические утверждения, касающиеся понятий «логарифм» и «уравнение», и визуально подкрепляют свои формулировки выполненными дома плакатами с формулами, схемами, алгоритмами.

5. Изложение нового материала

Уравнение называют логарифмическим, если неизвестная в нем содержится в подлогарифмическом выражении или основании логарифма.

Рассмотрим простейший пример:

Чтобы решить это логарифмическое уравнение сначала пропотенцируем его, то есть приравняем подлогаримические выражения;

Решим полученное линейное уравнение:

Легко убедиться в истинности найденного корня:

(верно)

ОТВЕТ: - 1

Видим, что потенцирование - важная часть решения логарифмического уравнения, так как в результате уравнение существенно упрощается.

Решим более сложное уравнение:

Прежде чем выполнить потенцирование, приведем уравнение к виду:

Для этого в левой части применим свойство сложения логарифмов, а правую часть 3 представим в виде логарифма с заданным основанием 2:

Потенцируя, получим квадратное уравнение:

Корни квадратного уравнения находим по теореме Виета:

так как и , то ; .

Однако проверка первого корня показывает, что он посторонний, так как

не существует. Второй корень – истинный:

(верно)

ОТВЕТ: 1

Сделаем вывод: потенцирование не всегда приводит к уравнению, равносильному исходному. Поэтому каждый найденный корень следует подвергать проверке. Но есть альтернатива: нахождение ОДЗ переменной вместо проверки. В некоторых случаях это удобнее (преподаватель демонстрирует на вышеприведенном примере способ нахождения ОДЗ).

Далее преподаватель привлекает курсантов к составлению алгоритмов решения логарифмических уравнений и обобщает новые знания с использованием соответствующего плаката.

6. Первичное закрепление

Речь преподавателя: «Сегодня у нас необычный урок. Мы посвятим его 85-летию ВКМРПК. Сегодня вам предстоит проявить лучшие качества ума и воли и доказать, что вы с честью несете звание курсантов нашего славного колледжа. Разделившись на 2 команды, мы отправимся в мореплавание на двух кораблях. Цель экспедиции – обогащение. Мы поплывем в далекую страну за золотым кладом. Ведь вы понимаете, что в наши дни настоящим золотом, высшей ценностью является знание, информация. Выиграет та команда, которая привезет больше золота, то есть обогатится большими знаниями, опытом. А капитанами кораблей я предлагаю избрать тех курсантов, которые лучше всех отличились при повторении знаний о логарифмах и уравнениях» (назначаются капитаны).

6.1. Выполнение устного задания: даем названия кораблям

Курсантам обеих команд дается задание, состоящее в выборе нужных уравнений из предложенных в списке. Выберите:

1. Уравнение, которое можно сразу, без предварительных преобразований, потенцировать;

2. Уравнение, которое не имеет корней;

3. Уравнение, которое явно имеет только один корень, причем отрицательный;

4. Уравнение, в котором сразу можно применить формулу суммы или разности логарифмов;

5. Уравнение, в котором удобно сделать замену переменной, сведя его к квадратному.

Каждый вариант ответа закодирован буквой:

Из букв, кодирующих правильные ответы, последовательно складываются имена математиков: Непер и Бюрги.

Преподаватель: «Логарифмы были изобретены (независимо друг от друга) английским математиком Джоном Непером и швейцарским часовым мастером, математиком и астрономом Иоостом Бюрги приблизительно 400 лет назад. Теорию логарифмов развил именно Непер. Он разработал вычислительные методы, основанные на логарифмах, и составил подробные таблицы значений натуральных логарифмов. Итак, кораблю первой команды мы присвоим имя Непера, а второй – имя Бюрги.

6.2. Проведение соревнования между командами

Вступительное слово преподавателя: «Ну что ж, капитаны избраны, корабли названы славными именами. Пора отправиться в плавание! Выберем штурманов – ведущих членов команд» (выбираются или назначаются по три штурмана на каждую команду).

Капитаны и штурманы занимают отдельные рабочие места, расположенные ближе к учебной доске, и получают задания на листке:

Каждое из трех первых заданий выполняется следующим образом. В течение минуты ведущие игроки совещаются: «капитан» распределяет между «штурманами» три вида действия, соответствующие разработанному общему алгоритму, а преподаватель в это время активизирует остальных курсантов («матросов»), побуждая их высказывать свои идеи. Первый, второй, третий «штурманы» последовательно выходят к доске и выполняют доверенную им часть решения уравнения. Каждый последующий имеет право исправлять ошибки предыдущего, а в заключении выходит «капитан», при необходимости корректирует и представляет группе решение уравнения. За каждый верно выполненный шаг решения команды получают одно очко.

Пока ведущие члены команд соревнуются у доски, «матросы» зарабатывают очки для своей команды, решая в своих тетрадях подобные уравнения:

После представления «капитаном» решения очередного уравнения на доске преподаватель интересуется, сколько подобных задач за это время решили «матросы» и какие ответы получились. Поэтому «матросы» заинтересованы в том, чтобы как можно быстрее уловить общий принцип решения уравнения данного типа и решить правильно как можно больше таких уравнений. За каждый верный результат, полученный «матросом», его команде присваивается одно очко.

На втором задании «капитан» распределяет действия между «штурманами» уже по-другому. На третьем задании в роли «штурманов» пробуют себя другие курсанты. А четвертое задание является капитанским конкурсом. Его решение сначала устно планируется, после чего «капитаны» решают у доски, а остальные решают аналогичные уравнения в тетрадях, зарабатывая команде дополнительные очки. Количество очков каждый раз фиксируется на «табло». В заключении определяется команда – победитель по количеству набранных очков.

7. Подведение итогов, выставление оценок

Преподаватель помогает курсантам обобщить полученные знания, выделить самое существенное. Оглашение оценок за урок.

Все установленные цели урока считаю достигнутыми. С помощью наглядных средств обучения, примеров, иллюстрирующих междисциплинарные связи, а также средствами дидактической игры, реализована задача развития интереса к дисциплине. Использование метода алгоритмизации позволило разбить сложный процесс решения задачи на элементарные шаги, приводящие к результату, ускорив выработку умений и навыков. Метод дидактической игры помог активизировать умственную деятельность курсантов. Активное использование групповой работы позволило успешно реализовать все заявленные воспитательные цели урока.

Результат – высокое качество усвоенных знаний, сформированных умений и навыков, что подтверждается высокими оценками, выставленными за урок («отлично» - 7 человек, «хорошо» - 8 человек, «удовлетворительно» - 3 человека).

8. Домашнее задание

Алгебра и начала анализа (под ред. Г.Н. Яковлева), с.198-202, упр. № 5.16 (а, в, г, ж).