Методические рекомендации по применению и разработке технологических карт по математике по теме «Логарифмические уравнения»

Чтобы разработать технологические карты по теме «Логарифмические уравнения», необходимо провести анализ темы в школьных учебниках.

Проанализируем учебники, которые наиболее распространены в общеобразовательных школах, а именно учебники:

Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 11 класс, Никольский С. М. Алгебра и начала анализа 10 класс; Мордкович А. г. Алгебра и начала анализа 10 - 11 кл.

Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий. Данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Каждый из этих учебников имеет свои особенности.

Учебник А. г. Мордковича, например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком. После каждой главы записаны основные результаты. Это своеобразный смотр достижений, подведение итогов, что для успешности процесса обучения очень важно. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально - графической линии.

В учебнике Виленкина Н. Я. раскрываются вопросы программы данного курса для 11 класса как для общеобразовательной школы, так и для классов с углубленным изучением математики. Теоретический материал в нем изложен достаточно кратко, однако иллюстрируется большим количеством примеров.

Учебник Никольского С. М. содержит материал как для базового так и для профильного уровня. Как и в учебнике Мордковича А. Г. выделяются задачи устной работы, повышенной трудности, задания для повторения. После каждой главы имеются сведения из истории о происхождении изучаемых понятий, терминов и символов, о людях, создавших математический анализ. В конце учебника представлены упражнения для итогового повторения, задачи для внеклассной работы, что удобно не только ученику при подготовке к какому - либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку.

Перейдем к анализу изложения конкретной темы "Логарифмические уравнения" в данных учебниках.

Анализ понятийного аппарата

Во всех трех учебниках на данную тему отведено достаточное количество часов.

В учебнике Мордковича А. Г. материал преподнесен лучшим образом.

 Понятие логарифма и логарифмической функции дается после изучения тем: показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства. На основе этого у учащихся более четко формируется понятие логарифма, ясно складывается представление о логарифмической функции. Мордкович А. Г. выделяет 4 способа решения логарифмических уравнений, подробно иллюстрирует их примерами, приводит решение.

Учебник Никольского С. М. структурирован тоже очень неплохо. Понятие логарифма вводится после изучения показательной функции. Пункты посвященные изучению десятичного логарифма и степенной функции отводятся для углубленного изучения. Решения логарифмических уравнений же уравнений преподносится чуть хуже чем у Мордковича. Ярко описываются лишь два метода решения такого типа уравнений. В конце главы в исторических сведениях автор повествует о таблицах десятичных логарифмов и о логарифмической линейке, что непременно интересно для читателя и просто позволяет расширить свой кругозор.

Виленкин Н. Я. же предлагает изучение тем показательной и логарифмической функций в 11 классе. Виленкин Н. Я. по сравнению с Мордковичем А. Г. , Никольским С. М. объединяет темы решение уравнений и решения неравенств. Подробно описывает лишь несколько методов решения.

Проанализируем теперь системы задач, направленных на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме "Логарифмические уравнения".

Все учебники по математики соответствуют образовательному минимуму. В учебнике Мордковича более полно отражен понятийный аппарат и насыщен примерами и задачами.

Таким образом наиболее удачным пособием для изучения темы "Логарифмические уравнения" в курсе алгебры и начал анализа 10 - 11 класс является учебник Мордковича А. г. Этот учебник дает полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, домашних заданий и повторения. В нем в отличие от учебников Никольского С. М. , Виленкина Н. Я. рассматриваются все пять методов решения.

Теоретический материал, необходимый для учителя по теме «Логарифмические уравнения».

Основные понятия

Логарифмом положительного числа N по основанию (b>0, b≠1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести b, чтобы полуучить N.

Обозначение логарифма: log _bN=x

Эта запись равнозначна следующей: b^x= N.

П р и м е р ы:

log ₃ 81 = 4 , так как 3⁴ = 81;

log _1/3 27 = - 3 , так как ( 1/3 )³ = 3³ = 27.

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

b^1ogbN=N

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т. е. 1оg ₁₀ N = lg N. Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . . . равны соответственно 1, 2, 3, . . . , Т. е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0. 1, 0. 01, 0. 001, . . . равны соответственно - 1, - 2, - 3, . . . , Т. е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается 1n , т. е. 1оg _е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2. 718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) ⁿ при неограниченном возрастании n (см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

Логарифм, число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (10² = 100). Если n - заданное число, b - основание и 1 - логарифм, то b¹ = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа 1. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений 10g_b n = 1 и

 antilog_b 1 =n

Весь материал - смотрите документ.

Методические рекомендации по применению и разработке технологических карт по теме « Логарифмические уравнения»

3.1.Логико-дидактический анализ темы «Логарифмические уравнения» в школьных учебниках

Чтобы разработать технологические карты по теме «Логарифмические уравнения», необходимо провести анализ темы в школьных учебниках.

Про анализируем учебники, которые наиболее распространены в общеобразовательных школах, а именно учебники:

Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11 класс, Никольский С.М. Алгебра и начала анализа 10 класс; Мордкович А.г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.

Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий. Данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Каждый из этих учебников имеет свои особенности.

Учебник А.г. Мордковича, например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком. После каждой главы записаны основные результаты. Это своеобразный смотр достижений, подведение итогов, что для успешности процесса обучения очень важно. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии.

В учебнике Виленкина Н.Я. раскрываются вопросы программы данного курса для 11 класса как для общеобразовательной школы, так и для классов с углубленным изучением математики. Теоретический материал в нем изложен достаточно кратко, однако иллюстрируется большим количеством примеров.

Учебник Никольского С.М. содержит материал как для базового так и для профильного уровня. Как и в учебнике Мордковича А.Г. выделяются задачи устной работы, повышенной трудности, задания для повторения. После каждой главы имеются сведения из истории о происхождении изучаемых понятий, терминов и символов, о людях, создавших математический анализ. В конце учебника представлены упражнения для итогового повторения, задачи для внеклассной работы, что удобно не только ученику при подготовке к какому-либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку.

Перейдем к анализу изложения конкретной темы "Логарифмические уравнения" в данных учебниках.

Анализ понятийного аппарата

Во всех трех учебниках на данную тему отведено достаточное количество часов.

В учебнике Мордковича А.Г. материал преподнесен лучшим образом.

Понятие логарифма и логарифмической функции дается после изучения тем: показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства. На основе этого у учащихся более четко формируется понятие логарифма, ясно складывается представление о логарифмической функции. Мордкович А.Г. выделяет 4 способа решения логарифмических уравнений, подробно иллюстрирует их примерами, приводит решение.

Учебник Никольского С.М. структурирован тоже очень неплохо. Понятие логарифма вводится после изучения показательной функции. Пункты посвященные изучению десятичного логарифма и степенной функции отводятся для углубленного изучения. Решения логарифмических уравнений же уравнений преподносится чуть хуже чем у Мордковича. Ярко описываются лишь два метода решения такого типа уравнений. В конце главы в исторических сведениях автор повествует о таблицах десятичных логарифмов и о логарифмической линейке, что непременно интересно для читателя и просто позволяет расширить свой кругозор.

Виленкин Н.Я. же предлагает изучение тем показательной и логарифмической функций в 11 классе. Виленкин Н.Я. по сравнению с Мордковичем А.Г., Никольским С.М. объединяет темы решение уравнений и решения неравенств. Подробно описывает лишь несколько методов решения.

Проанализируем теперь системы задач, направленных на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме "Логарифмические уравнения".

Все учебники по математики соответствуют образовательному минимуму. В учебнике Мордковича более полно отражен понятийный аппарат и насыщен примерами и задачами.

Таким образом наиболее удачным пособием для изучения темы "Логарифмические уравнения" в курсе алгебры и начал анализа 10-11 класс является учебник Мордковича А.г. Этот учебник дает полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, домашних заданий и повторения. В нем в отличие от учебников Никольского С.М., Виленкина Н.Я. рассматриваются все пять методов решения.

Теоретический материал, необходимый для учителя по теме «Логарифмические уравнения».

Основные понятия

Логарифмом положительного числа N по основанию (b0, b≠1) называется показатель степени х, в которую нужно возвести b, чтобы полуучить N .

Обозначение логарифма: log _bN=x

Эта запись равнозначна следующей: b^x= N .

П р и м е р ы:

log ₃ 81 = 4 , так как 3⁴ = 81;

log _1/3 27 = - 3 , так как ( 1/3 )³ = 3³ = 27 .

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

b^1ogbN=N

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. 1оg ₁₀ N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... равны соответственно 1, 2, 3, ... , Т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... равны соответственно -1, -2, -3, ... , Т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается 1n , т.е. 1оg _е N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) ⁿ при неограниченном возрастании n (см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при про ведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция. Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

Логарифм, число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (10² = 100). Если n - заданное число, b - основание и 1 - логарифм, то b¹ = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа 1. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений 10g_b n = 1 и

antilog_b 1 =n

Логарифмические уравнения

Уравнения вида log_a f (х) = b, а 0, а ≠ 1

Здесь предполагается, что f (х) - функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (х) = а^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку а^b - это число.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими.

Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

log _а f(x) = log_a g(x), (а0,a≠1) (1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть М=D(f)∩ D(g), тогда на этом множестве уравнение

log _аf( х) = log _а g (х) равносильно системе

f(x)0

g(x)0

f(x)=g(x) (2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение fx) = g(х) ( 3) его решения подставить в систему неравенств

f(x)0

g(x)0 (4)

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), Т.е. принадлежат области определения уравнения (1 ).

При решении логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е проверка решения, обязательна.

Рассмотрим уравнения вида:

log _{а (х)}f( х) = log _а(х) g (х)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Пусть М=D(t)∩D(g)∩D(а), тогда уравнение

log _{а (х)}f( х) = log _а(х) g (х) (5) равносильно системе

f(x)0

g(x)0

a(x)0 (6)

a(x)≠1

f(x)= g(x)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения f(x) = g(x), которые принадлежат области определения, задаваемой условиями f(x)0

g(x)0, a(x)0, a(x)≠1

Уравнения вида ^{F(logaf(x))=0, a0, a≠1}

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

С помощью замены ^t=loga^f(x) это уравнение сводится к уравнению

F(x)=0 у которого ищутся все его корни ^tk¸k^=1,n,nєz (пусть таких корней ровно n штук).

Для каждого ^k=1,n решается уравнение типа рассмотренного выше:

log_af(x)=t_k

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, - те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.