Урок математики по теме "Решение квадратных уравнений"

Цели:

- Показать уровень усвоения программного материала по теме «Квадратные уравнения», навыки решения квадратных уравнений с помощью применения формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета.

- Развитие вычислительных навыков: навыков решения квадратных уравнений с помощью формул, теоремы Виета, навыки нахождения дискриминанта квадратного уравнения, развитие логического мышления, продолжать содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- продолжать формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- продолжать отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

- вырабатывать самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Ход урока

1. Организационный момент

Перед уроком предварительно разбить учащихся на 3 группы по уровням А,В,С.

2. Актуализация знаний

Здравствуйте, садитесь! Обратите ваше внимание на доску! Здесь записано квадратное уравнение: 11х²+12х+2013=0.

Назовите его коэффициенты.

О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока).

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

Сегодня на уроке вас будут оценивать ваши товарищи и вы сами себя. На столах у вас лежат листы оценивания, подпишите их и в течение урока не забывайте их заполнять.

Вопрос: скажите, пожалуйста, какова цель сегодняшнего урока? (ответы учащихся). Назовите мне известные вам способы решения квадратных уравнений? (записать эти способы на доску).

На доске записаны 5 квадратных уравнений:

х² + 2х = 0;

2х² - 8х + 9 = 0;

5х² = 0;

3t² - 3t + 1 = 0;

х² – 4 = 0;

Назовите мне виды этих квадратных уравнений. А неполные квадратные уравнения можно решать через эти формулы? Рационально ли это? (нет), так вот мы сегодня остановимся на решении полных квадратных уравнений с использованием этих формул.

Предлагаю повторить основной теоретический материал, необходимый на нашем уроке.

Те ребята, которые получат сейчас карточки, будут работать самостоятельно, а с остальными мы повторим, задавая друг другу вопросы.

Некоторым учащимся дается тест "Квадратные уравнения".

I КАРТОЧКА

Задание:

подпиши карточку;

вставь пропущенные слова;

отдай соседу карточку;

проверь карточку соседа;

оцени карточку соседа;

0 ошибок –«5», 1 ошибка- «4», 2 ошибки – «3», 3 и более ошибки – «2»;

верни карточку соседу.

1. Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c - заданные числа, a 0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида x² + px + q = 0 называется...

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ...

5. Дано уравнение 3x² - 7x + 4 = 0. D =...

Полную информацию смотрите в файле.

Урок алгебры в 8 классе на тему: Решение квадратных уравнений.

Цели:

1. Показать уровень усвоения программного материала по теме «Квадратные уравнения», навыки решения квадратных уравнений с помощью применения формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета.

2. Развитие вычислительных навыков: навыков решения квадратных уравнений с помощью формул, теоремы Виета, навыки нахождения дискриминанта квадратного уравнения, развитие логического мышления,

3. продолжать содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

4. продолжать формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

5. продолжать отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

6. вырабатывать самостоятельность при работе на уроке;

1. способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Ход урока

1. Организационный момент

Перед уроком предварительно разбить учащихся на 3 группы по уровням А,В,С.

2. Актуализация знаний

Здравствуйте, садитесь! Обратите ваше внимание на доску! Здесь записано квадратное уравнение: 11х²+12х+2013=0.

Назовите его коэффициенты.

О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока).

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

Сегодня на уроке вас будут оценивать ваши товарищи и вы сами себя. На столах у вас лежат листы оценивания, подпишите их и в течение урока не забывайте их заполнять.

Вопрос: скажите, пожалуйста, какова цель сегодняшнего урока? (ответы учащихся).назовите мне известные вам способы решения квадратных уравнений?(записать эти способы на доску).

На доске записаны 5 квадратных уравнений:

1. х² +2х=0;

2. 2х² -8х+9=0;

3. 5х² =0;

4. 3t² -3t+1=0;

5. х² -4=0;

Назовите мне виды этих квадратных уравнений. А неполные квадратные уравнения можно решать через эти формулы? Рационально ли это?(нет).так вот мы сегодня остановимся на решении полных квадратных уравнений с использованием этих формул.

Предлагаю повторить основной теоретический материал, необходимый на нашем уроке.

Те ребята, которые получат сейчас карточки, будут работать самостоятельно, а с остальными мы повторим, задавая друг другу вопросы.

Некоторым учащимся дается тест "Квадратные уравнения".

I КАРТОЧКА

Задание:

1. подпиши карточку;

2. вставь пропущенные слова;

3. отдай соседу карточку;

4. проверь карточку соседа;

5. оцени карточку соседа;

0 ошибок –«5», 1 ошибка- «4», 2 ошибки – «3», 3 и более ошибки – «2»;

1. верни карточку соседу.

1. Уравнение вида , где a, b, c - заданные числа, a0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида называется...

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если ...

5. Дано уравнение . D =...

II КАРТОЧКА

Задание:

1. подпиши карточку;

2. вставь пропущенные слова;

3. отдай соседу карточку;

4. проверь карточку соседа;

5. оцени карточку соседа;

0 ошибок –«5», 1 ошибка- «4», 2 ошибки – «3», 3 и более ошибки – «2»;

1. верни карточку соседу.

1. Если квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a 0, c 0, называют ... квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

Теперь давайте послушаем тех учащихся, которые работали по карточкам.

3.Закрепление ранее изученного материала.

Внимание на доску. На доске записаны уравнения:

1. x²- 8x + 15 = 0

2. x² - 11x + 18 = 0

3. x² - 5x - 6 = 0

4. x² - 4x + 4 = 0

5. 3x² + 4x + 20 = 0

6. 5x²- 3x - 2 = 0

Задание для

1 группы - выписать в данных уравнениях коэффициенты;

2 группы - найти значение суммы и произведения корней квадратных уравнений;

3 группы – найти значение Д или Д/4. 

Условие записывать обязательно.

Записать решение данного задания на доске - Абатурова, Яровенко, Коровин.

Для проверки этого задания обменяйтесь тетрадями с соседом. Ваша задача оценить товарищей по парте, критерии оценивания у вас в листах оценивания.

Проверка решений на доске. Проверяет весь класс.

Поменяйтесь обратно тетрадями, посмотрите на свои оценки, поднимите руку, кто получил «5», «4», «3».

Полученную вами оценку не забудьте внести в лист оценивания.

4. Решение уравнений различными способами.

А теперь вернемся к способам решения квадратных уравнений.

На доске записано квадратное уравнение: x²- 2x -80 = 0. Какими способами можно решить это уравнение?

Вызвать по желанию решать уравнение через

а)Д,

б) Д/4,

в) теорему Виета.

Все остальные решают у себя в тетрадях. Проверка всем классом.

5. Разноуровневая самостоятельная работа.

А теперь поработаем самостоятельно. Вы сейчас получите карточки с тремя уровнями сложности. Каждый сам определит для себя уровень, который он будет выполнять, либо только А, либо только В, либо только С.

Вариант 1.

Уровень А

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х² + 6х – 6 = 0; б) х² - 4х + 4 = 0

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.

5х² - 7х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-7)² – 4· 5 · 2 = …;

№3. Закончите решение уравнения 3х² - 5х – 2 = 0.

D = b² - 4ac = (-5)²- 4· 3·(-2) = 49; х₁ = … х₂=…

Уровень В Решите уравнение: а) 6х² – 4х + 32 = 0; б) х² + 5х - 6 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) -5х² – 4х + 28 = 0; б) 4х²–8х–5=0.

Доп. задание. Зная, что х₁ и х₂- корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета, составьте квадратное уравнение: х₁= 4, х₂= -3,

Вариант 2.

Уровень А

№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х² - 8х + 6 = 0; б) х² + 2х - 4 = 0

№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² - 4ac.

5х² + 8х - 4 = 0, D = b² - 4ac = 8² – 4· 5 · (- 4) = …;

№3. Закончите решение уравнения х² - 6х + 5 = 0.

D = b² - 4ac = (-6 )² - 4· 1·5 = 16; х₁ = … х₂=…

Уровень В Решите уравнение: а) 3х² – 2х + 16 = 0; б) 3х² - 5х + 2 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) 5х² + 4х - 28 = 0; б) х² – 6х + 7 = 0;

Доп.задание. Зная, что х₁ и х₂- корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета, составьте квадратное уравнение: х₁= -5, х₂= 2.

(Если время позволяет) Самопроверка по таблице ответов.

6.Итог урока.

Задание выполнено, заполните до конца лист оценивания, вложите его в тетрадь, закройте тетради. После окончания урока вы сдадите мне тетради, я проверю и выставлю оценку. У вас на столах лежат листы с дом.заданием, прочитайте его, если есть вопросы-то задавайте.

7. Домашнее задание.

Решить различными способами: 1) , 2) , 3) .

Творческое домашнее задание.

В одной из старинных индийских книг говорится: « Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из таких задач знаменитого математика Индии ХII века БХАСКАРЫ.

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась

Их в квадрате часть восьмая

На полянке забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае? 

8. Рефлексия.

Давайте вернемся к цели нашего урока.

- как вы считаете мы достигли нашей цели?

9. Немного истории.

Теперь давайте немного отдохнем и послушаем сообщение «история возникновения квадратных уравнений».

По словам математика Лейбница, "кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет".

Теперь давайте немного отдохнем и послушаем сообщение «история возникновения квадратных уравнений».

Так как учащиеся были разделены на группы заранее, то их домашнем задание было подготовить доклад на 2-3 мин об истории возникновения квадратных уравнений,

1 группа – квадратные уравнения в Европе 13 – 17 вв.

2 группа – квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

3 группа -  Квадратные уравнения в Индии

1)Квадратные уравнения в Индии

Брахмагупт

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с современным.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая..

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

2)Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и таких, например, полные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденный до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с

решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

3) Квадратные уравнения в Европе в XII – XVII вв.

Леонардо Фибоначчи

Формы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были в первые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202 году, итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники XVI – XVII вв. и частично XVIII в. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

x² + bx = с

при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни Виет знаменитый француский ученый также по профессии адвокт. Итальянские ученые Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.1

Рене Декарт Исаак Ньютон

9. Резерв.

Как уже было сказано: задачи на квадратные уравнения встречаются в 499г. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом: каждый стол получает цветок из 7 лепестков. Предложенное задание позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по 3 уровням сложности А, В, С. Уровню А соответствует обязательным программным требованиям, В-среднему уровню сложности, С – предназначен для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике. Данная форма игры способствует воспитанию у учащихся чувства ответственности перед товарищами, взаимопомощи, умению контролировать свои действия. Такие лепестки раздаются на каждый стол.

А: 5х² –14х +8=0 В: -х² +5х +14=0

А: х²-7х+12=0 С:

А: х²-7х+10=0 С:(х+4)²=3х+40

В: 2х² = 5х + 3

Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим уровнем.

На доске записаны ответы, которые соответствуют буквам на обратной стороне лепестка. Группа учащихся с лепестками своего уровня вывешивает свой ответ на доске, соответствующей буквой.

В результате на доске вывешивается по одной букве и получается имя ученого: БХАСКАР.