Урок математики "Однородные тригонометрические уравнения"

Цели и задачи урока.

Образовательные: 1. сформировать у учащихся умений решать однородные тригонометрические уравнения;

2. отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.

Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока:

1. магнитная доска, магниты;

2. тетради;

3. чистые листы для самостоятельной работы;

4. таблицы по тригонометрии:

а) значения тригонометрических функций;

б) решение тригонометрических уравнений (частные случаи);

в) основные формулы тригонометрии.

Литература:

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс;

2. Крамор В.С. Повторяем курс алгебры.

Содержание урока.

I. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке

(рабочее место, организация внимания)

II. Проверка домашнего задания.

Задача: 1. Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися;

2. установить пробелы в знаниях;

3. совершенствовать знания, умения и навыки в области решения тригонометрических уравнений.

1) Проверка домашнего задания у доски. Учащиеся по вызову учителя выходят к доске и решают уравнения:

а) √3tg2x + 1 = 0

√3tg2x = – 1

tg2x = – 1/√3

2x = arctg (– 1/√3) + πn, n € Z

2x = – π/6 + πn, n € Z

x = – π/12 + πn/2, n € Z

б) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

cos(π/3 + 3x) = √3/2

π/3 + 3x = ± arcos (√3/2) + 2 πn, n € Z

3x = ± π/6 – π/3 + 2 πn, n € Z

x = ± π/18 – π/9 + 2 πn/3, n € Z

в) 3cos²x – sinx – 1 =0

3 (1 – sin²x) – sinx –1 = 0

3 – 3 sin²x – sinx –1 = 0

– 3 sin²x – sinx + 2 = 0

3 sin²x + sinx – 2 = 0

Пусть sinx = y

3y² + y – 2 = 0 D = b² – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25

y_1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1

sinx = 2/3 или sinx = – 1

x = (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn, n € Z x = – π/2+ 2πk, k € Z

Ответ: (– 1)ⁿ arcsin(2/3) + πn; x = – π/2+ 2πk, n, k € Z

2. Всему классу предлагается устный диктант:

Вопрос учителя: Что называется арксинусом числа a?

Ответ: арксинусом числа a называется такое число из отрезка [–π/2 ;π/2], синус которого равен a.

Вопрос учителя: Чему равен arcsin (– a)?

Ответ: arcsin (– a) = – arcsin a

Вопрос учителя: Что называется арккосинусом числа a?

Ответ: арккосинусом числа a называется такое число из отрезка [0;π], косинус которого равен a.

Вопрос учителя: назвать формулу нахождения корней уравнения вида sinx = a.

Ответ: x = (– 1)ⁿ arcsin a + πn, n € Z.

Вопрос учителя: назвать формулу нахождения корней уравнения вида cosx = a.

Ответ: x = ± arccos a + 2πn, n € Z.

Вычислить (записано на доске):

а) arcsin (√2/2) (ответ: π/4)

arсcos (1/2) (ответ: π/3)

arсcos (–1/2) (ответ: 2π/3)

arctg (1/√3) (ответ: π/6)

arcsin (–√3/2) (ответ: –π/3)

б) Решить устно:

sin x = 0 (ответ: x = πn, n € Z)

cos x = – 1 (ответ: x = π + 2πn, n € Z)

sin x = 3/2 (ответ: решений нет, т.к.3/2 1)

Проверка работы, выполненной на доске. Каждый учащийся комментирует свой решенный пример.

3. Самостоятельная работа (7 минут).

Во время выполнения самостоятельной работы учитель следит за выполнением работы.

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

Учитель обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать те уравнения, способы решения которых им известны.

cos(4x – 2) = 1/2

cos²x – 2cosx = – 1

3sin²x – 5sinx – 2 = 0

2sinx – 3cosx = 0

(tgx – √3)(2sinx(x/2) + 1) = 0

3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0

Учащиеся внимательно смотрят на магнитную доску. Затем поднимают руку, выбирают уравнение и объясняют, как они его будут решать. После этого, если к решению нет замечаний, карточка с записью выбранного уравнения убирается с магнитной доски.

В результате проделанной работы на магнитной доске остались уравнения, которые учащиеся затрудняются решить:

2sinx – 3cosx = 0

3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0

IV. Усвоение новых знаний

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске: «Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Учитель вывешивает плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида:

asinx + bcosx = 0, a,b ≠ 0 и

asin²x + bsinxcosx + kcos²x = 0, a,b,k ≠ 0

Учитель: Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cosx = 0 , то получим, что sinx = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx ≠ 0

2tgx – 3 = 0

2tgx = 3

tgx = 1,5

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

б) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.

3tg²x – 4tgx + 1 = 0

Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.

Решение: пусть tgx = y

3y² – 4y + 1 = 0

D = 16 – 4·3·1 = 4

y_1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(1/3) + πk, k € Z

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sinx = 2cosx – однородное

2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное

3. sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4. 2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное

5. 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное

6. 2sinxcosx = 2 – по формуле синуса двойного угла

Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить.

VI. Закрепление нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске.

2) √3sin3x – cos3x = 0,

cosx ≠ 0

√3tg3x – 1 = 0

√3tg3x = 1

tg3x = 1/√3

3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z

3x = π/6 + πn, n € Z

x = π/18 + πn/3, n € Z

5) 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0

cos²x ≠ 0

6tg²x – 1 – 5tgx = 0

Пусть tg x = y

6y² – 1 – y = 0

D = 25 – 4·6· (–1) = 49

y_1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6

tgx = 1 или tgx = –1/6

x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(–1/6) + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z

VII. Проверка усвоения нового материала.

Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю

Самостоятельная работа

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего.

VIII. Домашнее задание: № 169(в,г) и № 174(а,в)

Индивидуальное задание: № 172(а)

IX. Итог урока:

Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились?

Ответ: С однородными.

Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения?

Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0

Вопрос учителя: Что имеем после деления?

Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать.

Далее учитель отмечает хорошую работу одних учащихся, недостаточную активность других. Выставляются оценки.