Цилиндр и конус

Урок учителя математики Истоминой Л. Г.

Обобщающий урок по теме

«Цилиндр и конус» 11 класс

Цель урока: закрепление у учащихся понятия цилиндра, конуса,

их боковой поверхности и объема; отработка навыков по решению задач по данной теме.

Ход урока:

Устная работа.

1. ЦИЛИНДР 2.КОНУС

Sбок=2πRH Sбок=πRl

Sпол=2πRH+2πR² Sпол= πRl+ πR

V=πR² V=⅓ πR²H

1. Во сколько раз надо уменьшить

а) высоту цилиндра, не изменяя его радиуса, чтобы V цилиндра увеличился в 2, 3, … n раз?

Ответ: в 2, 3, … n раз.

б) радиус цилиндра, не изменяя его высоту, чтобы V цилиндра увеличился в 2, 3, … n раз?

Ответ: в √2, √3, … √n раз.

1. Как относятся объемы цилиндра и их моделей, уменьшенных в

масштабах 1:2, 1:3, 1:n?

Ответ: 1:8, 1:27, 1:n³

1. Выразите V конуса через его диаметр и высоту

V=⅓πR²H=⅓π(d/2) H=1/12πd²H

1. Два конуса получены в результате вращения неравнобедренного

прямоугольного треугольника вокруг каждого из катетов.

Равны ли объемы этих конусов?

V1=⅓πв²а V2==⅓πа²в

Допустим, что они равны.

⅓πв²а= ⅓πа²в

а=в

Пришли к противоречию с условием задачи. = Объемы не равны.

Работа по таблице самоопределения личности

а) ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

ЦИЛИНДР

КОНУС

б) ЗАДАЧИ НА ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Как определить объем тела, полученного в результате вращения квадрата вокруг оси, которая проходит вне этого квадрата параллельно одной из его сторон?

Ответ: объем полученного тела равен разности объемов двух цилиндров, высота которого одинаковая и равна стороне квадрата. Больший радиус равен расстоянию от оси вращения до параллельной ей дальней стороны квадрата, другой – равен расстоянию от оси вращения до параллельной ей ближней стороны квадрата.

1. Даны две кастрюли цилиндрической формы: первая узкая и высокая, а вторая – вдвое шире, но вдвое ниже первой. Какая из кастрюль имеет большую емкость?

Ответ: вторая.

1. Свинцовый конус, высота которого Н, переплавлен в цилиндр с тем же основанием. Какую высоту имеет получившийся цилиндр?

Решение: Пусть площадь основания конуса равна S, тогда V конуса вычисляется по формуле V1=⅓SH, а объем получившегося цилиндра V2=SX. Поскольку их объемы равны, то ⅓SH=SX, Х= Н/3 = высота цилиндра в 3 раза меньше высоты конуса.

в) ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1) Докажите, что объемы двух различных равносторонних цилиндров относятся как кубы радиусов их оснований.

Решение: пусть сечениями двух равносторонних цилиндров являются квадраты со стороной а и в соответственно, тогда их объемы равны V1=πа³/4 и V2=πв³/4, а отношение V1 :V2= а³ : в³.

2) Докажите, что V цилиндра равен произведению площади его боковой поверхности на половину радиуса.

Решение: V=πR²H=2πRH * R/2=Sбок*r/2

3) Докажите, что объем конуса, радиус основания которого R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45º, равна πR³/3.

V= ⅓πR²*R=⅓πR³

Контрольное решение учебных задач

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус основания цилиндра.

а) 5√2 см б) 8√2см в) 10см г) 10√2см

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6√π дм², а площадь основания цилиндра равна 25 дм². Найти высоту цилиндра.

а) 2/3πдм б) π/2дм в) 0,6πдм г) 2дм

1. Длина образующей конуса 2√3 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120º. Найдите площадь основания конуса.

а) 8πсм² б) 8π√2см в) 9πсм² г) 6√3πсм²

1. Объем цилиндра 63π см³, а площадь осевого сечения 18 см². Найдите радиус основания цилиндра.

а) 8см б) 6√3см в) 9см г) 7см

1. Объем конуса равен 9√3π см². Найдите высоту конуса, если его осевое сечение – равносторонний треугольник.

а) 3см б) 3√3см в) √3см г) 6√3см

Ответы: 1а,2в,3в,4г,5б.

Задачи повышенной сложности

1. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Боковое ребро параллелепипеда образует с диагональю параллелепипеда и с диагональю боковой грани, исходящими из одной вершины, соответственно углы α и β. Найдите объем параллелепипеда, если радиус основания цилиндра равен R.

1. В цилиндр с периметром осевого сечения 20 см вписан конус, вершина которого лежит в центре верхнего основания, а основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра. Определите объем конуса с наименьшей образующей.

Итог урока