Вывод формул для объемов тел в стереометрии

Цели и задачи урока:

 - ввести понятие объема тел его свойств, единиц измерения объёма, познакомить с объёмами параллелепипеда, куба, прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями;

- учить сравнивать,  сопоставлять, анализировать, делать выводы, развивать правильную математическую речь, целесообразную вариативности математических упражнений, закрепить знания в результате решения задач на  применение новых формул объема;

- воспитывать трудолюбие, внимательность; развитие интереса учащихся к предмету математика, активизация мыслительной деятельности, развитие математической речи, расширение математического кругозора у учащихся, научить учащихся мыслить логически, быстро думать и принимать правильные решения;

Ход урока:

Слайд 1 и Слайд 2. Вступление:  Учитель: Сегодня на уроке мы с вами введем понятие объема тел его свойств, познакомимся и узнаем  единицы измерения объёма, познакомимся с объёмами параллелепипеда, куба, прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.

Слайд №3. Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке,  все науки стремятся к математике.  Д. Сантаяна

Слайд №4. Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах. Пойа Д.

Повторение с частичным (первичным)  введением нового материала. (повторить известные многогранники и тела вращения- определения и чертежи – заранее заготовленных  карточках)

Слайд 5:  Изучение нового материала в сравнении – «Планиметрия- Стереометрия».

Понятие объема тела вводится  по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Площадь многоугольника- это положительная величина  той части плоскости , которую занимает многоугольник.

Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерять с помощью выбранной единицы измерения объемов.

Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.

Слайд 6:

В чем измеряется площадь плоских фигур?

Какие единицы измерения площадей вы уже знаете?

За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

1 км², 1 м², 1 дм², 1 см²,  1 мм² , 1 а, 1 га и т.д.

За единицу измерения объемов примем куб,  ребро которого равно единице измерения отрезков.

Куб  с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см^3.

Аналогично определяют 

1 м³, 1 дм³, 1 см³ , 1 мм³ и т.д.

Процедура измерения объемов тел аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела  выражается положительным числом, которое показывает . сколько единиц  измерения объемов  и частей единицы содержится в данном теле.

Слайд 7:  Мы с вами уже знакомы из курса планиметрии со свойствами площадей.

Давайте вспомним   первое свойство:   ( ученики используют подсказку на слайде)-

Равные многоугольники имеют равные площади

Мы с вами можем сформулировать первое свойство объема тел используя в качестве подсказки рисунок слайда- Равные тела имеют равные объемы

Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением

Слайд 8:  Рассмотрим еще одно свойство объемов.

Для этого мы вспомним второе свойство из курса планиметрии: (ученики используют подсказку на слайде).    Свойство 2:- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

S_F=S_F1+S_F2+S_F3+S_F4

Итак давайте выведем второе свойство объема : Если тело составлено из нескольких тел , то его объем равен сумме объемов этих тел.

V_F=V_F1+V_F2

Слайд 9:  Мы с вами вспомнило некоторые свойства из курса планиметрии и рассмотрели 2 свойства объемов.

Сформулируйте – какие фигуры называются равновеликими? Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади  S_F=S_{F1 .}

Сформулируйте – какие тела называются равновеликими? Равновеликими называются тела, объемы которых равны V_F=V_F1

Слайд 10: В стереометрии  мы с вами  будем  рассматривать объемы многогранников и объемы тел вращения

-Назовите известные вам многогранники и фигуры вращения ?  ( учащиеся должны назвать- прямоугольный параллелепипед, куб, призма, пирамида, цилиндр, конус, сфера и шар)

Слайд 11:  Введение формул объемов тел через диалог учителей и учащихся.

В курсе математики 5 –го класса мы с вами уже познакомились с прямоугольным параллелепипедом. Давайте воспользуемся чертежом и вспомним  основные элементы прямоугольного параллелепипеда и формулы уже известные нам.

Измерения - а-длина; b-ширина; с- высота

Известные формулы:

V=a^.b^.c

S_осн= a^.b

V=S_осн^.H

Следствие1: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

Слайд 12:  А как называется прямоугольный параллелепипед у которого все измерения равны?    Куб

Длина куба   а =а;   ширина  в=а  ; высота   с=а

Подставим имеющиеся данные в формулу V=a^.b^.c  в результате чего мы получаем

(ученики сами выводят формулу нахождения объема куба)

V=a^.а^.а= а³

V=а³

Слайд 13:

А сейчас мы  рассмотрим прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник  (используем рисунок на слайде)

Ученики вспоминают, что прямая призма, основанием которой является прямоугольный треугольник образуется путем разрезания прямоугольного параллелепипеда на две равные части. Они могут самостоятельно определить формулу для нахождения объема прямой призмы

V_парал=S_осн^.H

S _осн=2^.S_ABC

_{По свойству объемов}

V_парал= 2^.S_ABС^.H

V _призмы = (V _парал) :2

V _призмы = (2^.S_ABС^. H): 2

V _призмы = S_ABС^. H

Следствие 2- Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению основания на высоту.

Слайд 14: А сейчас мы с вами найдем объем пирамиды. Достроим пирамиду ABCS до призмы.  Достроенная  призма будет состоять из 3  пирамид- SABC, SCC₁B_1, SCBB_1.      У 2 и 3 пирамиды-    SC- общая, треугольник CC₁B₁= треугольнику CBB₁

У 1 и 3 пирамиды-    СS- общая, треугольник SAB= треугольнику BB₁S

 V₁=V₂=V₃

V призмы= 3 V пирам

Vпирамиды= 1/3 V призмы

Vпирамиды=1/3 Sосн ^.H

Слайд 15:  Мы с вами узнали и вывели несколько формул для нахождения объемов тел. А сейчас поработаем с телами вращения.

-Какие  тела вращения вы уже знаете?  Цилиндр. Конус, усеченный конус, сфера и шар

Давайте выведем с вами формулу для нахождения объема цилиндра.

Вспомним обозначения и уже известные нам формулы, которые мы применяли для нахождения элементов цилиндра.

Обозначения:

 R -  радиус основания

 H -  высота

 L  -  образующая

 L=H

 V -  объем цилиндра

Sосн= ПR²

Говорят, что призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра и призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него равна высоте самого цилиндра.

Теорема:  Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

V = ПR²H         V= Sосн ^.H

Заключение урока:   Итак, мы заканчиваем с вами знакомство с понятием объем, с некоторыми формулами для нахождения объема многогранников и тел вращения. С остальными формулами мы продолжим знакомство на следующих уроках стереометрии.

Рефлексия. Перед вами находятся листочки с рисунками, на которых я предлагаю вам поставить знак  вашего отношения к проведенному уроку и написать понравился ли вам урок и что в нем вам понравилось.