Третий признак равенства треугольников.

Th .: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1 ,

АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1

Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

С

А

В

С 1

А 1

В 1

В

С

В 1

А

С 1

А 1

Доказательство:

Приложим Δ АВС к Δ А 1 В 1 С 1 так, чтобы

вершины А и А 1 совместились, вершины В и В 1 совместились, а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 .

Возможны три случая:

Рассмотрим 1 случай. Луч СС 1 проходит внутри  А 1 С 1 В 1 ;

• АС = А 1 С 1 – по условию,

сл-но , Δ А 1 С 1 С – равнобедренный.

Значит,  1 =  2 – как углы при основании равнобедренного треугольника.

2. ВС = В 1 С 1 – по условию,

сл-но , Δ В 1 С 1 С – равнобедренный.

Значит,  3 =  4 – как углы при основании равнобедренного треугольника.

3.  А 1 СВ 1 =  А 1 С 1 В 1 .

4. Итак, АС = А 1 С 1 – по условию,

ВС = В 1 С 1 – по условию,

 С =  С 1 – по доказанному

Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 по первому

признаку равенства

треугольников. #

А 1 (А)

2

1

С

С 1

4

3

В 1 (В)

Рассмотрим 2 случай. Луч СС 1 совпадает с одной из сторон  А 1 С 1 В 1 ;

• АС = А 1 С 1 – по условию,

значит, Δ СА 1 С 1 – равнобедренный.

2.  С =  С 1 - как углы при основании равнобедренного треугольника.

3. ВС = В 1 С 1 – по условию,

значит, АВ – медиана,

тогда АВ – биссектриса и высота.

4.  СА 1 В 1 =  С 1 А 1 В 1

5. Итак, Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

по второму

признаку равенства

треугольников. #

А 1 (А)

С 1

С

В 1 (В)

Рассмотрим 3 случай. Луч СС 1 проходит вне  А 1 С 1 В 1 .

1. ВС = В 1 С 1 – по условию,

сл-но , Δ В 1 С 1 С – равнобедренный.

Значит, ВА – медиана, биссектриса и высота

2.  А 1 В 1 С =  А 1 В 1 С 1 .

3. ВА – общая сторона.

4. Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 по первому

признаку равенства

треугольников. #

С

С 1

А 1 (А)

В 1 (В)