Теория вероятности

Однотипные задачи под номерами одного цвета.

Чтобы увидеть решение задачи, кликните по тексту.

Чтобы увидеть ответ к задаче, кликните по кнопке:

Вероятностью события А называется отношение

числа благоприятных для него исходов испытания к

числу всех равновозможных исходов.

где m - число исходов, благоприятствующих

осуществлению события,

а n - число всех возможных исходов.

• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

• Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B)   =P(A) + P(B) – P(A∩B)

5 . Вероятность появления одного из двух несовместных

событий равна сумме вероятностей этих событий.   

P(A U B)   =P(A) + P(B)          

6. Вероятность произведения независимых событий А и В

(наступают одновременно)вычисляется по формуле: 

P(A∩B) = P(A) ∙ P(B) .

7. Формула умножения вероятностей:

                          P(A∩B) = P(A) ∙ P(B/A) ,

где P(B/A) – условная вероятность события В,

при условии, что событие А наступило.

8. Формула Бернулли – формула вероятности k успехов в

серии из n испытаний

где – число сочетаний,

р – вероятность успеха,

q = 1 – р – вероятность неудачи.

При подбрасывании симметричной монеты, когда р = q = ½ , формула Бернулли принимает вид:

Например, вероятность выпадения орла дважды в трех испытаниях:

• Большинство задач можно решить

с помощью классической формулы

вероятности:

2. Задачи с монетами ( и игральной костью) при небольшом

количестве подбрасываний удобно решать методом перебора

комбинаций.

Метод перебора комбинаций :

– выписываем все возможные комбинации орлов и решек.

Например, ОО,ОР,РО, РР. Число таких комбинаций – n;

– среди полученных комбинаций выделяем те, которые

требуются по условию задачи (благоприятные исходы), – m ;

– вероятность находим по формуле:

3. При решении задач с монетами число всех возможных

исходов можно посчитать по формуле

Аналогично при бросании кубика

4. Комбинаторный метод решения можно применять

при подсчете количества исходов с помощью формул

комбинаторики.

27. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,07

Решение

Вероятность попадания в мишень равна 0,7;

вероятность промаха равна 1 – 0,7 = 0,3.

Т. к. результаты выстрелов – независимые события, вероятность того, что биатлонист четыре раза попал в мишень, а один раз промахнулся, равна:

Р= 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ≈ 0,07

Ответ: 0,07

28. В магазине стоят три платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Ответ: 0,999

Решение

Тогда Р(А)= 1 - 0,001 = 0,999

Ответ: 0,999

29. В интернет-магазине три телефонных оператора. В случайный момент оператор занят разговором с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других. Клиент звонит в магазин. Найдите вероятность того, что в этот момент хотя бы один оператор не занят.

Ответ: 0,657

Решение

I способ

Событие А – не занят хотя бы один оператор,

т.е. не занят один, два или все три оператора.

Р(А) = (0,3 ∙ 0,7 ∙ 0,7) ∙ 3 + (0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,7) ∙ 3 +

+ 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3 = 0,657

. ●

II способ

Ответ: 0,657

30. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы . Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

Ответ: 0,3

Решение

Ответ: 0,3

31. В классе 28 учащихся, среди них Наташа и Владик - брат и сестра. Для проведения медосмотра класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найти вероятность того, что Владик и Наташа попали в разные группы.

Решение

32. В группе иностранных туристов 51 человек. Среди них два испанца. Для посещения музея группу делят на две подгруппы – 25 и 26 человек – случайным образом. Найти вероятность того, что оба испанца окажутся в одной подгруппе.

Решение

27. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность

попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность

того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний

раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

0,07

28. В магазине стоят три платежных автомата. Каждый из них

может быть неисправен с вероятностью 0,1. Найдите вероятность

того, что хотя бы один автомат исправен.

0,999

29. В интернет-магазине три телефонных оператора. В случайный

момент оператор занят разговором с клиентом с вероятностью 0,7

независимо от других. Клиент звонит в магазин. Найдите вероятность

того, что хотя бы один оператор не занят.

0,657

30. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

0,3

31. В классе 28 учащихся, среди них Наташа и Владик - брат и сестра. Для проведения медосмотра класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найти вероятность того, что Владик и Наташа попали в разные группы

32. В группе иностранных туристов 51 человек. Среди них два испанца. Для посещения музея группу делят на две подгруппы – 25 и 26 человек – случайным образом. Найти вероятность того, что оба испанца окажутся в одной подгруппе.

Источники: :

1. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко Рабочая тетрадь

ЕГЭ 2012 Математика .Задача В10

2. Первое сентября. Математика, январь, март 2012

3. ЕГЭ 3000 задач с ответами. Математика.

Все задания группы В. Закрытый сегмент / А.Л. Семенов,

И.В. Ященко, и др. / – Издательство «Экзамен», 2012.

4. http://mathege.ru Открытый банк заданий по

математике

5. http://www.postupivuz.ru

6. http://alexlarin.com

7. http://www.berdov.com

8. http://www.youtube.com