Простейшие вероятностные задачи

образовательные: научить в процессе реальной ситуации определять достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные и несовместные события, научить решать задачи из жизни;

воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока.

2. Повторение и закрепление пройденного материала

Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение среднего арифметического.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172. Найдите среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Вариант 2

1. Определение моды измерений.

2. Приведен рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183. Найдите среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Ответ:

вариант 1. а) 174; б) 172; в) 172; г) 45; д) 6, 71.

вариант 2. а) 173; б) 162; в) 171; г) 108, 4; д) 10, 41.

3. Изучение нового материала

3.1. Что такое событие? (класс заранее был поделен на группы, одна из групп подготовила информацию об этом понятии) (слайд 3)

Например:

В теории вероятностей возможный исход эксперимента, называется элементарным событием, а множество таких исходов называется просто событием. Событие - это результат испытания.

Пример

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел — это испытание. Попадание в определенную область мишени — событие.

В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета — событие. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти.

Примеры

В следующем году первый снег выпадет в субботу. Бутерброд упадет маслом вниз. При бросании кубика выпадет шестерка. При бросании кубика выпадет четное число. У меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие — выигрыш тысячи рублей, либо происходит, либо не происходит. В следующем году первый снег выпадет в субботу.

Такие непредсказуемые события называются случайными. (слайд 4)

Теория вероятностей изучает различные модели случайных событий, их свойства и характеристики. Разумеется, эта теория не может однозначно предсказать, какое событие в реальности произойдет, но может оценить, какое событие наиболее вероятно. При этом будем считать, что случайные события равновероятны (или равновозможны), - идеализированная модель.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными. ( слайд 5)

Примеры:

1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.

2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

3. Примеры учеников.

Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ. (слайд 6)

Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое то преимущество.

Примеры:

1. Появление герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

3. Примеры учеников.

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием.

Вероятность достоверного события равна 1.(слайд 7)

Событие, которое не может произойти, называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Примеры:

1. В следующем году снег не выпадет. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.

2. В следующем году снег выпадет. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Ежедневный восход солнца. Это достоверные события.

3. Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара — достоверное событие; появление белого шара — невозможное событие.

4. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.

3.2. Краткая историческая справка - смотрите документ

3.3. Что такое «теория вероятностей»?

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)

Теория вероятностей — это математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. (А.А.Боровков «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986 год.)

Вероятность — это численная характеристика реальности появления того или иного события. Классическое определение вероятности.( слайд 8)

Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события. (слайд 9)

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует найти:

1) число N всех возможных исходов данного испытания;

2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает N(A) событие A;

3) частное

N(A)

N оно и будет равно вероятности события A. Принято вероятность события P обозначать так: P(A). Значит P(A) = N(A)

N

Примеры:

(слайд 10)

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение

Число стандартных подшипников равно 1000 − 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A)= 970 исходов.

Поэтому P(A) = N(A)

N = 970

1000 = 0, 97.

Ответ: 0,97.

2. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает:

а) три очка;

б) число очков, кратное трем;

в) число очков больше трех;

г) число очков, не кратное трем.

Решение

Всего имеется N = 6 возможных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N(A) = 1 происходит интересующее нас событие A — выпадение трех очков. Вероятность этого события P(A) = N(A)

N = 1

б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события P(B) = N(B)

N = 2

в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события P(C) = N(C)

N = 3

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 45) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D, наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: P(D) = N(D)

N = 4

Для вычисления вероятности часто используют правило умножения. (слайд 11) Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний A и B, следует перемножить число всех исходов испытания A и число всех исходов испытания B.

Весь материал - смотрите документ.