"Теорема Виета"

Тема: Теорема Виета

Цели урока:

• раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета); формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням (обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Ход урока

I. Целеполагание.

Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения». Вы уже умеете решать квадратные уравнения различными способами. Почему тогда автор учебника предлагает изучить еще одну тему, связанную с решением квадратных уравнений?

(- Значит, есть более рациональный, эффективный способ решения квадратных уравнений)

Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…

(На интерактивной доске высветить слайд с незаполненной таблицей и в ходе обсуждения её заполнить)

Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и сформулировать цели урока.

Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.

II. Изучение нового материала.

1 этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

Решая квадратные уравнения, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений.

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.

Или учитель предлагает учащимся решить уравнение х²–2087х+2086=0. Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

Задания для исследования каждой группе:

1 группа

1. х² + 7х + 12 = 0

2. х² - 10х + 21 = 0

3. х² – 3х – 10 = 0

4. х² +3х – 10 = 0

5. х² + 2х – 35 = 0

2 группа

1. х² + 5х + 6 = 0

2. х² - 9х + 20 = 0

3. х² – 2х – 15 = 0

4. х² + 2х – 15 = 0

5. х² + х – 42= 0

З группа

1. х² + 7х + 10 = 0

2. х² - 8х + 15 = 0

3. х² – х – 6 = 0

4. х² + х – 6 = 0

5. х² + 12х + 20 = 0

4 группа

1. х² + 8х + 15 = 0

2. х² - 7х + 10 = 0

3. х² – х – 12 = 0

4. х² + х – 12 = 0

5. х² + 7х – 18= 0

5 группа

1. х² + 10х + 21 = 0

2. х² - 7х + 12 = 0

3. х² – х – 30 = 0

4. х² + х – 30 = 0

5. х² + 13х + 30 = 0

6 группа

1. х² + 9х + 20 = 0

2. х² - 11х + 30 = 0

3. х² – 5х – 14 = 0

4. х² + 5x – 14 = 0

5. х² – 6х + 8 =0

План исследования.

1. Заполните рабочий лист.

2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.

4. Ответьте на вопрос урока.

5. Подготовьте отчет.

Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на доске выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

3 этап. Обмен информацией.

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

Рабочий лист

4 этап. Связывание информации.

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями

приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Каждая группа делает вывод о связи коэффициентов, вывод на доске. (х₁+х₂ = -р, х₁•х₂ =q.)

№ 573 (а-г) устно

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

5 этап. Применение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х₁+ х₂=9=-р, р=9, х₁∙х₂=20=q, следовательно уравнение имеет вид х²+9х+20=0)

Задание №1 (индивидуальная работа с последующей самопроверкой)

Найдите для каждого уравнения соответствующие корни, пользуясь теоремой Виета:

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения проверяют по эталону

Задание №2 дополнительное (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1. х² + 7х + 10 = 0

2. х² – х – 20 = 0

3. х² + 6х – 7 = 0

4. х² + 11х + 24 = 0

5. х² + 17х + 70 = 0

6. х² – 7х – 30 = 0

7. х² + 10х – 11 = 0

8. х² + х – 12 = 0

9. х² + 11х + 28 = 0

10. х² – 4х – 21 = 0

11. х² + 4х + 3 = 0

1. х² + 7х - 18 = 0

2. х² + 6х + 5 = 0

3. х² -9х +14 = 0

4. х² + 13х + 42 = 0

5. х² + 2х - 3 = 0

6. х² – х – 12 = 0

7. х² + 12х + 35 = 0

8. х² -10х + 21 = 0

9. х² -х - 30 = 0

10. х² – 9х + 20 = 0

11. х² -11х + 24 = 0

Код: большему корню уравнения соответствует буква

Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф.Виета, вкладе ученого в развитие алгебры, сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика.

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое неприведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому).

Домашнее задание.

1. Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.

2. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 ( индивидуальное задание).

3. Составьте, решите и оформите в тетрадях три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание).

6 этап. Рефлексия.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Виет Франсуа (1540 год - 14 февраля 1603 год)

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Главный замысел ученого замечательно удался, началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».

IV. Мог ли ученый оказаться вне событий, которыми жило общество того времени? Конечно, нет! Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. Будучи хорошим ученым, он давал уроки знатным вельможам, поэтому оказался приближенным к королевской власти. Его жизнь развивалась по двум направлениям. С одной стороны – он занимался научной деятельностью. Но занимался он не математикой, а астрономией. Зарождение научного мировоззрения, формирование нового взгляда на строение солнечной системы не могли не увлечь его как ученого. Для научного обоснования точки зрения ученых необходимо было сделать расчеты. Вот поэтому попутно с астрономией Виет углубился в математику. И достиг в этом больших успехов. Виет первым придумал буквенные обозначения для известных чисел, так называемых параметров. До него процесс решения квадратных уравнений излагался в словесной форме т. е. без записи формул. Правда, записи Виета были громоздкими, их позже облегчил также французский математик Рене Декарт. Но идея введения букв принадлежала Виету, именно поэтому его называют «отцом математики». Рассмотренная в начале урока теорема явно свидетельствует о преимуществе использования связи корней с их коэффициентами против решения уравнения по формулам. Это увидели для уравнений второй степени . Для приведенного уравнения третьей степени формулы еще более громоздкие (речь идет о так называемых формулах Кордано). Впоследствии мы познакомимся с этой теорией более подробно.

Это ли не честь ученому, что школьники всего мира знают его имя в связи с изучением данной теоремы. Лучшего памятника трудно придумать.

Но будучи приближенным к королевскому двору, Виет оказался также участником исторических событий. Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но часто их планы оказывались известными неприятелю, и они терпели поражение за поражением. Какова же была их ярость, когда они узнали о том, что их шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. В это время произошла смена королевской власти во Франции. Новый король Генрих IV взял ученого под защиту и не выдал инквизиторам. Однако есть определенная тайна смерти ученого. Вполне возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Нам нужно еще понять, что двигало ученых в то непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти. Наверное, это, прежде всего пытливость человеческого ума. Знак «?», который является ключом к развитию науки, не давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я? Человек. Разум …это мне надо. Понять себя, свою сущность. Свое место в мире, люди стремились во все времена.

Загляните в себя, может страдает ваша природная любознательность , потому что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение «конечно» не безразлично. Но самое главное «как я сам к себе отношусь? Достоин ли уважения?» подумайте об этом…