«Теорема косинусов»

Тема «Теорема косинусов»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Обучающая цель урока:

знание учениками формулировки теоремы косинусов;

умение:

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

сторонам;

определять вид треугольника по трем известным сторонам.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

познавательной деятельности;

развития рефлексивных способностей;

создать условия для:

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.

2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

1. Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

2. Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа в группе.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90^o=0.

6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

• находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

Зная, что формула имеет вид a²=b²+c² - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b²+c²=2bc×cosγ+a².
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b²+c^2- a² =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

cosγ=√b²+c²-a2/2bc.
Вопрос для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?

• Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

• Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

• Если cos0 , треугольник остроугольный;

• Если cos0 , треугольник прямоугольный;

• Если cos0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона
– если с^2 2 + b², то треугольник остроугольный; 
– если с² = a² + b², то треугольник прямоугольный; 
– если с²  a² + b², то треугольник тупоугольный.