Меню
Разработки
Разработки  /  Геометрия  /  Уроки  /  9 класс  /  «Теорема косинусов»

«Теорема косинусов»

Тема «Теорема косинусов» Тип урока: урок усвоения новых знаний Место урока – первый урок по данной теме Обучающая цель урока: •знание учениками формулировки теоремы косинусов; •умение: находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними; определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам; определять вид треугольника по трем известным сторонам. Задачи личностного развития: организовать ситуации для: самоопределения учащихся на прогнозируемый
13.12.2020

Содержимое разработки

Разработка урока геометрии в 9 классе
«Теорема косинусов»



Тема «Теорема косинусов»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Обучающая цель урока:

знание учениками формулировки теоремы косинусов;

умение:

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

сторонам;

определять вид треугольника по трем известным сторонам.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

познавательной деятельности;

развития рефлексивных способностей;

создать условия для:

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока


1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.


2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

  1. Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0 до 180».

  2. Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа в группе.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.


-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90o=0.

4этап. Физминутка.

6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

  • находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;


Зная, что формула имеет вид a2=b2+c2 - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b2+c2=2bc×cosγ+a2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b2+c2- a2 =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

cosγ=√b2+c2-a2/2bc.
Вопрос для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?

  • Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.


Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариантам №1

Вариант №2

Вариант №3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cos19/96

cos0

cos0

790

900

1030



Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

  • Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

  • Если cos0 , треугольник остроугольный;

  • Если cos0 , треугольник прямоугольный;

  • Если cos0, треугольник тупоугольный.


Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона
– если с2 2 + b2, то треугольник остроугольный; 
– если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный; 
– если с2  a2 + b2, то треугольник тупоугольный.

Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).

7 этап. Построение перспективного плана дальнейшей работы.

-вопрос учителя: Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

-ответы учеников

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

определять вид треугольника по трем известным сторонам

5этап. Закрепление. Мини-тес

Мини-тест

Условие

Варианты ответа


В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны

p лежит угол α. Тогда справедлива следующая

формула:

А) m2 n2 p2 2 npcosα

Б) m n2 p2 2 npcosα

В) p2 m2 n2 mn cosα ;

Г) p m2 n2 mn cosα ;


Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.


Длины двух сторон треугольника равны   и 3, а угол

между ними 450. Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √5; Г) 5



В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника


А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.


Проверка.

Варианты ответа

1

В) p2 m2 n2 mn cosα ;


2

В) тупоугольный.

3

В)√5

4

В) тупоугольный


Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»

Ученики: « Задать домашнее задание».

Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»

8этап. Домашнее задание. П.98, № 1025(д).

Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.

Обсуждение заполнение таблицы. Оценки

Приложения № 1. Разминка. Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

1.sin( 90 - α) = 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

2. cos( 90 -α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

3. sin( 180- α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 - α) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60 = 1)   2)   3)  

6. cos 30 = 1)   2)   3)  

7. cos 45= 1.  2.   3.  

8. sin 60 = 1.  2.   3.  

9. sin 30 = 1.  2.   3.  

10. sin 45 = 1.  2.   3.  



Приложение № 3. Рабочая карта урока

ФИО учащегося: _____________________________________


Этапы урока

Наивысшее кол-во баллов

Оценка

Баллы

1

Выполнение домашнего задания в тетрадях (выполнил +1 балл;

не выполнил -1 балл)

+1


2

Разминка (тест)

Взаимопроверка: 1 ошибка — минус балл.

+5


3

Работа в группе.

Решение задачи Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA)..

Оценка группы:

Самооценка

+5


4

Решение задачи по вариантам (найден косинус угла +1 балл и определен вид треугольника +1 балл)

+2


5

Мини-тест

+4


6

Итоги урока.

Всё понял, могу рассказать, объяснить, применить на практике.



7

Оценка за работу на уроке.

Мое кол-во баллов

Моя оценка

16


8

Критерии оценивания



12-16 баллов

Оценка «5»





10-11 баллов

Оценка «4»





7-8 баллов

Оценка «3»





ниже

7 баллов

Оценка «2»



-75%
Курсы повышения квалификации

Геометрия в школе. Технологии активизации познавательной деятельности в условиях реализации ФГОС ООО (СОО)

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1000 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
«Теорема косинусов» (250 KB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт