Материал по математике "Теорема косинусов и ее следствия"

Теорема косинусов.

Теорему косинусов знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.

Теорема:

квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: ∆АВС

Доказать, что ВС² = АС²+АВ²–2АС*АВ*cos∠A

Доказательство:

Рассмотрим векторное равенство.

Т. к. АС=АВ+ВС

то ВС=АС-АВ

Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:

Так как ab=│a│*│b│*cos(a;b), то ВС²=АС²+АВ²–2АС*АВ*cos∠A , что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов.

Следствие:

квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.

1) Рассмотрим треугольник АВС, где ∠ А – острый

Проведем CD⊥AB

Т. к. треугольник АСD - прямоугольный, то:

b =с*cosα, следовательно, AD=AC*cosα, тогда ВС2=АС2+АВ2–2АС*АВ.

2) Рассмотрим треугольник АВС, где ∠ А – тупой (∠А>90°).

∆АDС – прямоугольный:

AD= AC*cos∠DAC= AC*cos(180°- α)=-AC*cosА или AC*cosА =-AD

Т. е. ВС²=АС²+АВ² –+2 АD*АВ

Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:

1) по теореме: а) АС² =АВ²+ВС²–2АВ*ВС*cos∠В;

б) АВ²= АС²+ВС²–2АС*ВС*cosС;

в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора: a²+b²=c²

2) a) по следствию острого угла:

а. 1) АВ²=АС²+ВС²–2 АD*AС; а. 2) АС²= АВ²+ВС²-2ВС*СD.

б) По следствию тупого угла:

б.1) АВ²=АС²+ВС²+2АD×ВС;

б. 2) АС²=АВ²+ВС²+2 ВС*СD.

Две теоремы косинусов для четырехугольника.

В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

Теорема 1.

Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

Доказательство №1:

Дано: ∆AMD

Доказать, что x²=a²+b²+c²–2ab*cosβ–2bc*cosγ–2ac*cosμ

Доказательство:

1) Построим ABCE – параллелограмм. Имеем: ∠ECD=∠AMD=μ.

Весь материал - в документе.