Теорема косинусов (методический материал)

Теорема косинусов — одна из теорем геометрии, гласит: Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними. a² = b² + c² − 2bccosα.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: AD = bcosα, DB = c − bcosα. Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: b² − (bcosα) 2 = a² − (c − bcosα) 2 или a² = b² + c² − 2bccosα.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. Выражения для сторон b и c: b² = a² + c² − 2accosβ c² = a² + b² − 2abcosγ.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,  справедливо соотношение:

a² = b² + c² – 2bc cosα.

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов.

Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника...

Если конкретно:

Когда b² + c² - a² > 0, угол α будет острым;

Когда b² + c² - a² = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора) ;

Когда b² + c² - a² < 0, угол α будет тупым.

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:

AD = b cos α,

DB = c – b cos α

Весь материал - в документе.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

Теорема косинусов:

       Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,         справедливо соотношение:

                a² = b² + c² – 2bc cosα.

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов.

• Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

Если конкретно:

• Когда b² + c² - a² 0, угол α будет острым;

• Когда b² + c² - a² = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора);

• Когда b² + c² - a² , угол α будет тупым.