Свойства функций

Основные цели:

1. Способствовать формированию у учащихся нового понятия монотонной функции;
2. Воспитывать положительное отношение к знаниям, умение работать в парах;
3. Способствовать развитию аналитического мышления, умений частично – поисковой познавательной деятельности.

Ход урока:

1. Актуализация опорных знаний:

Дайте определение функции.

Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на чертеже. ( Приложение2.ppt )

2. Формирование новых знаний:     

На рисунке 1 ( Рисунок1.JPG ) изображен график некоторой функции у = f (х), область определения которой – промежуток [-5; 4].

При возрастании значений X от –5 до 1 значения Y возрастают, а при возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что функция у = f (х) на промежутке   [-5; 1] возрастает, а на промежутке [1;4] – убывает.

Эталоны:  ( Приложение3.ppt )

Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ > х_1, выполняется неравенство f(х₂) > f(х₁).

Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ > х_1, выполняется неравенство f(х₂) < f(х₁).

Функцию возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х, называют монотонной на множестве Х.

Выясним характер монотонности некоторых видов функций: (Приложение4.ppt )

3. Работа в парах (карточки с элементами частично – поисковой деятельности):

Выяснить характер монотонности линейной функции f(х) = k x + b, при k > 0 и k < 0.

Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = хⁿ, при четном n.

Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = хⁿ, при нечетном n.

Выяснить характер монотонности обратной пропорциональности f(х) = k/x  при k > 0 и k < 0.

Учащиеся в парах исследуют функции на монотонность, после чего делаем выводы:

Линейная функция, то есть функция, заданная формулой  f(х) = k x + b, при k > 0 является возрастающей, а при k < 0 – убывающей. (Приложение6.ppt ).

Степенная функция f(х) = хⁿ с натуральным показателем n при четном n возрастает на промежутке [0; + ∞) и убывает на промежутке (- ∞; 0]. При нечетном n функция f(х) = хⁿ возрастает на всей области определения, то есть на промежутке (- ∞; +∞). ( Приложение7.ppt ).

Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) = k/x  в каждом из промежутков (- ∞; 0) и (0; + ∞) при k > 0 убывает, а при k < 0 возрастает. (Приложение8.ppt ).

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций (Приложение9.ppt ) :

Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.

Если функция у = f (х) является возрастающей (убывающей), то функция у = - f(х) является убывающей (возрастающей).

Сумма двух возрастающих функций является возрастающей, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция φ(х) = f(g(х)) - возрастающая функция.

Если функция у = f(х) монотонна на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(х) =1/f(х)  на множестве Х имеет противоположный характер монотонности.

4. Формирование практических умений:

Приведем примеры использования свойств монотонных функций:

Пример 1. ( Приложение10.ppt).

Пример 2. ( Приложение11.ppt ).

Задания для работы в парах: ( Приложение12.ppt )

Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства монотонных функций использовали.

(Приложение13.ppt ). Решите уравнение:  х⁵ + х³ + х = - 42.

5. Итог урока:

Контрольные вопросы: (Приложение14.ppt )

1. Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на множестве Х.
2. Какая функция называется монотонной на множестве Х?
3. Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

Домашнее задание: (Приложение15.ppt) - смотри документ.