Свойства и график функции у= cos x

Функция

y = cos x

её свойства и график

Функция  y = cos x  определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1].

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми  y= −1 и y=1.

Так как функция  y = cos x  периодическая с периодом  2π , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π , тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.

Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке   [0;  ]

В координатной плоскости

На числовой окружности

Функция  y = cos x  является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси ОУ

Для построения графика на отрезке  - π≤x≤π  достаточно построить его для  0≤x≤π , а затем симметрично отразить его относительно оси ОУ

График функции y = cos x

Кривая, являющаяся графиком функции  y= cos x, называется косинусоидой .

Свойства функции y = cos x

1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞ ; + ∞ )

2. Множество значений Е(у) = [−1;1]

3. Функция периодическая с периодом  T= 2π .

4. Функция чётная cos(-x) = cos x

(график симметричен относительно оси ОУ ).

5 . Функция ограничена и сверху, и снизу.

6. Функция y= cos x принимает: - значение, равное  0 , при   x=π /2+ πn,n∈Z; - наибольшее значение, равное  1 , при  x=2πn,n∈Z ; - наименьшее значение, равное  −1 , при  x=π+2πn,n∈Z;

7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при

x ∈ ( -π/2+2π n; π/2+2π n), n ∈ Z

Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при

x ∈ ( π /2+2 π n; 3 π / 2+2 π n), n ∈ Z

• Функция возрастает на x ∈ [ π + 2 π n; 2 π n ] , n ∈ Z

функция убывает на x ∈ [ 2 π n ; π + 2 π n ] , n ∈ Z

Решение задач

Задача №1

Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [  /6;  /2]

Решение

Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(  /6)=  3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у(  /2) = 0

Задача №2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = cos t на данном отрезке [  / 3 ; 7  / 6 ]

Решение

На данном промежутке функция немонотонна.

Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(  /3)=1/2, а наименьшее значение у(  ) = -1

Задача №3

Задача 2. Найти все значения параметра  а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a

Решение

Построим график функции y = 1 + cos t  

Уравнение

1 + cos t = a

имеет хотя бы одно решение при  a Є [0;2]

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.

Ответ: а Є [0; 2]                  

Задача №4

Решить уравнение

Решение

Построим в одних координатных осях графики функций

Графики имеют только одну общую точку

А(0; 1)

Ответ: х=0

Задача №5

Найти число корней уравнения 

Решение

На промежутке [- π ; 0] функция у= cosx монотонно возрастает, функция у=х 2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке [ 0; π ] функция у= cosx монотонно убывает, функция у=х 2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку.

Ответ: два корня

Задача №5

Построить график функции y=cos3x

Решение

Косинус – четная функция, строим график на участке

[0; π /3] , затем симметрично отображаем относительно оси  y  и получаем график на промежутке [- π /3; π /3] длина которого равна периоду.  График сжимается к оси Оу в 3 раза.

Задания для самостоятельного решения

1) Постройте графики функций

1) у = cos x + 1;

2) у = cos x – 1;

3) у = cos (x + π /2)

4) у = cos (x – π /3)

2 ) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= cos (x) на отрезке [0; 4π/3]

3) Определить область значений функции y=−8cosx+3.

4) Определить чётность или нечётность функции:

f(x)=x5⋅cos6x.

5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π].

6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

y=cos 4 2x−sin 4 2x+4.

7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx 

на  полуинтервале (−4π / 3;−π / 3].

Заключение.

Мы рассмотрели график функции 

y = cos x ,

изучили особенности ее поведения, использовали их и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром