Способы вычисления площадей многоугольников

Способы вычисление площади многоугольников.

А) Подсчет клеток

Нужнопосчитатьколичествополныхклетоквнутриданнойфигуры.

Дополнитьнеполныеклеткидругдругомдополныхклеток.

Чтобы найти площадь фигуры надо найти сумму полных клеток.

Решение:

Посчитаем количество клеток внутри закрашенной области: их 11.

Решение:

Посчитаем количество клеток внутри закрашенной области: их 18

Б) Использование основных формул планиметрии

Задача 1.Найдем площадь параллелограмма ADCB, а FDCB - равновеликий ему прямоугольник. Из курса начальной школы мы знаем, что площадь прямоугольниканаходится по формуле:

S=a*b,

гдеа и b – длина и ширина прямоугольника

В параллелограмме ADCBFD- это высота, а DC – длина. Следовательно, площадь параллелограмма: S_ADCB= FD*DC, S_ADCB=5*7=35.

Задача 2. В общем случае площадь параллелограмманаходится по формуле (рисунок 4а):

S=a*h,

где а- основание, а h- высота параллелограмма.

Задача 3.Еще раз обратимся к формуле площади прямоугольника S=a*b,где а и b – стороны прямоугольника, тогда площадь прямоугольного треугольника найдем так:S= 3*3:2=4,5

В общем случае, площадь прямоугольного треугольника, находится по формуле:

S=(a*b):2,где а и b – катеты.

Задача 4.Площадь произвольного треугольника найдем как сумму площадей двух прямоугольных треугольников. Площадь большего треугольника находится так:Sб=a₁*b:2=(3*3):2=4,5, меньшего треугольника Sм=a₂*b:2=(1*3):2=1,5А площадь целого треугольника S=S₁+S₂=4,5+1,5=6

C другой стороны можно заметить, что катеты а₁ и а₂большего и меньшего прямоугольных треугольников составляют основание исходноготреугольника, катет b в исходном треугольнике является высотой h.Таким образом основание а=а₁ +а_2, высота h=b. Тогда, площадь данного треугольника S=(4*3):2=6

В) Разбиение многоугольника на части

Задача1.Найтиплощадьпрямоугольника,изображеннойнаклетчатойбумаге сразмеромклетки1смх1см.Ответдайте вквадратныхсантиметрах.

Решение.РазобьемданныйпрямоугольникАВСДнадватреугольникаАВСиВСД. Сторона у них общая и равна 5 см. Высоты, опущенные на эту сторону,равны2см.Так как площадь треугольника равна половине произведения стороны навысоту, опушенную на эту сторону, то площадь каждоготреугольника равна5кв.см.и,следовательно,площадьпрямоугольника будетравна10 см².

Задача 2. Найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатойбумаге,считаястороныквадратныхклеток равными1.

Решение. Разобьем фигуру на треугольники и прямоугольник как показанона рис (можно разбить по-другому). Площадь прямоугольного треугольникаравнаполовинепроизведениякатетов,следовательно,площадиихраны6,2,и3ед²,площадьпрямоугольникаравна2х1=2(ед²).Складываяплощади,

полученных фигур 6 + 2 +3 + 2, получим площадь заданнойфигуры 11кв.ед.Способ разбиения на части подходит для любого многоугольника,но он трудоемкий.

Г) Достраивание многоугольника до прямоугольника

Задача1. Найдитеплощадьчетырехугольника,изображенногонаклетчатойбумаге с размеромклетки1 см х1см.

Решение.Опишемоколонеёпрямоугольник.

Изплощадипрямоугольника(вданномслучаеэтоквадрат)вычтемплощади полученныхпростыхфигур:

S= Sпр. –S1–S2–S3–S4=4*4–½*1*4-1/2*3*3-

½*2*2–(1+2)/2*2=4.5(кв.см.)

З адача 2.Найдём площадь фигуры АВСD.

Решение. Опишем около нее прямоугольник, точнее квадрат.

Из площади квадрата вычтем площади полученных фигур (1, 2, 3 и 4):S = Sкв – S1 – S2 – S3 – S4 == 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = =10.

З адача 3.Найдём площадь фигуры АВСD.

Решение. Опишем около фигуры АВСD квадрат.Из площади квадрата вычтем площади полученных фигур (1, 2 и 3):

S=Sкв–S1–S2–S3=4∙4–(4∙4):2–(2∙1):2–(2∙1):2 =16-8–1–1=6

ФормулаПика.

Историческая справка

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. (см. приложение 1). Эта формула для нахождения площади многоугольника с вершинами, расположенными в узлах клетки. Узлами называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий. Формула Пика связывает площадь многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

формула для нахождения площадей фигур на решётчатой бумаге.

Формула Пика:

S=В+Г/2−1,

где В—количество внутренних точек (узлов) многоугольника,

Г— количество граничных точек (узлов) многоугольника. Формула Пика работает только для многоугольников без дырок, всевершины которых попадают в узлы сетки.

Использование формулы для нахождения площадей фигур на решётчатой бумаге.

Задачи из сборников по подготовке к ОГЭ.

Мы убедились, что возможны различные способы нахождения фигур на клетчатой бумаге. Можно находить площади фигур, используя формулы геометрии (но для этого надо знать эти формулы и уметь ими пользоваться). Можно находить площади частей фигур, а затем уже площадь целой фигуры. Можно дополнять фигуру до прямоугольника и из него вычитать «лишние» части (в некоторых случаях эти способы применить очень трудно, да и вычисления занимают много времени). А на экзамене по математике в 9-м и в 11-м классе каждая минута дорога!

Поможет ли формула Пика при выполнении аналогичных заданий из вариантов контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике?

З адача 1. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.

1. В ычисляем, используя формулу площади трапеции, получаем,что

1. Вычисляем, используя формулу Пика, внутренних 11 узлов, граничных – 13, получаем:

В ывод: в данном случае лучше использовать формулу площади трапеции.

З адача 2. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.

1. Вычисляем, используя способ нахождения площади фигуры как части площади прямоугольника:

Sпр=7*6=42,

Sтр1=6*6:2=18,

Sтр2=2*2:2=2,

Sтр3=4*1:2=2,

Sф=42-(18+2+2)=20 см².

1. Вычисляем, используя формулу Пика 14+14/2-1=20см².

Вывод: в данном случае лучше использовать формулу Пика.

З адача 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см.

Вычисляем, используя формулу Пика: В=6, Г= 4

S=6+4/2-1=7см².

В данной задаче любой другой способ приведет к громоздким вычислениям.

Еще решения задач представлению в приложении 2

Рассмотрим на одном примере вычислениеплощадимногоугольникаразнымиспособами (см. приложение3).Решая этимиспособами, я получила один и тот же ответ. Значит,площадьнезависитотспособа.Подтвердиласьигипотеза:площадьмногоугольника,изображенногонаклетчатойбумаге,можновычислитьразными способами и площадь не зависит от способа вычислений. Определитьплощадь помогала клетка. Следует заметить, что с помощью формулы Пика ябыстроилегковычислилаплощадь.