Системы уравнений

Тема: «Способы решения систем уравнений».

Цели:

1. повторить способы решения систем уравнений;

2. акцентировать внимание на возможность решения систем различными способами;

3. научить, при решении систем уравнений, записывать верно ответ

4. продолжить обучать умению

5. планировать самостоятельную работу;

6. осваивать информацию и логически ее перерабатывать;

7. вырабатывать собственную позицию, обосновывать ее и защищать

8. ( обосновывать свой способ решения, свой результат);

Оборудование:

компьютер,

мультимедийный проектор,

карточки с тестами,

бланки ответов ГИА,

карточки для дополнительной работы сильными учениками

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель сообщает тему урока, цели. В тетради записать число, тему урока.

Слайд 1.2

1. Актуализация знаний

Слайд 3,4 Установите соответствие между формулой и графиком.

1. Повторение

1. Как вы понимаете выражение - «система уравнений»?

2. Что значит: решить систему уравнений?

– Решить систему – это значит найти пару значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

3. Какие способы решения систем вы знаете? – подстановки, сложения и графический.

Слайд 5

Нажимая на ссылки: способ подстановки, способ сложения, графический способ переходите на соответствующий слайд

способ подстановки : Слайд 6-7

С решением систем этим способом познакомит___________________________________

способ сложения: Слайд 8-9

Рассказывает ______________________________________________.

Графический способ (Слайд 10-11)

Беседа с учениками:

1. Что нужно сделать для решения систем графическим способом? – Построить графики функций и найти координаты точек пересечения графиков. Для этого из каждого уравнения нужно выразить переменную у.

2. Выразим из обоих уравнений переменную у.

3. Что можно сказать о первом уравнении? – это уравнение функции обратной пропорциональности. График – гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.

4. Как построить гиперболу? (строим на доске, проверяем с помощью слайда)

5. Что можно сказать о втором уравнении? – это уравнение квадратичной функции. График – парабола, полученная из графика функции путём перемещения на три единицы вверх по оси ординат.

6. Сколько точек пересечения получили? – 1.

7. Как найти её координаты?

8. От чего зависит количество решений системы уравнений?- От количества точек пересечения графиков функций.

9. Алгоритм решения систем графическим способом

1. Тренажер для глаз (над доской 3 голубя разного цвета: посмотреть на каждого из них, затем закрыть глаза и мысленно перенести их на другую стенку)

2. Отработка навыков

Выполняем несколько заданий из материалов ГИА (по слайдам)

Задание №1. Слайд 12

Задание №2. Слайд 13

Задание №3. Слайд 14

Задание №4 Слайд 15

1. Решение систем второй степени.

Слайд 16

Решить систему уравнений

x-5y=5,

x² -25y² =-75.

Разложим левую часть второго уравнения системы на множители, используя формулу разности квадратов

а² –b² =(a+b)(a-b)

X² -25y² =(x-5y)(x+5y)

После этого наша система уравнений примет вид:

x-5y=5,

(x-5y)(x+5y)=-75.

Используя первое уравнение системы x-5y=5 , заменим во втором уравнении x-5y на его значение 5

x-5y=5,

5(x+5y)=-75.

Разделим левую и правую части второго уравнения системы на 5:

x-5y=5,

x+5y=-15. (3)

Таким образом, мы получили линейную систему уравнений. Вычтем почленно из 1-ого уравнения 2-ое: -10y=20.Выразим отсюда y: y=-2.

Теперь подставим у=-2 в одно из уравнений системы (3),

например во второе:

x+5(-2)=-15, x=-5.

Ответ: x = -5, y = -2.

На боковых досках два ученика решают системы и вместе с ними на местах все ученики решают следующую задачу.

В1) Решить систему уравнений :

2x+3y=-8,

4x² +5xy+9y² =50. (1)

Возведем в квадрат обе части первого уравнения: (2x+3y)²=(-8)²

Используем формулу квадрата суммы:

(a+b)² =a² +2ab+b²

(2x+3y)²=4x² +12xy+9y²

После этого наша система уравнений примет вид:

4x²+12xy+9y²=64,

4x² +5xy+9y² =50. (2)

Вычтем почленно из первого уравнения второе:

7xy=14,

xy=2.

Воспользуемся первым уравнением системы (1): 2x+3y=-8.

Выразим из этого уравнения x через y:

2x=-3y-8

x=-1.5y-4

Теперь подставим в уравнение xy=2 вместо x полученное выражение:

y(-1.5y-4)=2

-1.5y2 -4y-2=0

Найдем корни полученного квадратного уравнения: y₁=-2 и y₂=-2/3.

Подставляя полученные значения в уравнение x=-1.5 y-4, найдем соответствующие значения x:

X₁=-1.5*(-2)-4

X₁=-1

X₂=-1.5*(-2/3)-4

Х₂=-3

Ответ: (-1, -2); (-3, -2/3).

В2) Решить систему уравнений:

2x -xy=-8,

y -2xy=32. (1)

В первом уравнении вынесем за скобку х, а во втором y:

x(2x-y)=-8,

y(y-2x)=32.

Домножим второе уравнение на -1:

x(2x-y)=-8,

y(2x-y)=-32.

Домножим первое уравнение на y, а второе на x:

xy(2x-y)=-8y,

xy(2x-y)=-32x.

Мы получили два уравнения, с одинаковой левой частью, следовательно, их правые части равны:

-8y=-32x Выразим отсюда y: y=4x

Подставим в уравнение x(2x-y)=-8 вместо y, полученное выражение:

x(2x-4x)=-8

x(-2x)=-8

-2x² =-8

X²=4 x₁=2, x₂=-2

Подставляя полученные значения в уравнение y=4x, найдем соответствующие значения y

Y₁=4*2 Y₁=8

Y₂=4*(-2) Y₂=-8

Ответ: (2, 8); (-2, -8).

В3) Решить систему уравнений:

x+4y=-2,

x³ +64y³ =-56.

Используя формулу суммы кубов a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²), разложим на множители x³+64y³:

x³ +64y³ =(x+4y)(x² -4xy+16y² ).

После этого система примет вид:

x+4y=-2,

(x+4y)(x² -4xy+16y² )=-56.

Подставляя во второе уравнение системы вместо x+4y его значение -2, мы получим:

x+4y=-2,

-2(x² -4xy+16y² )=-56.

x+4y=-2,

x² -4xy+16y² =28.

Возведем в квадрат обе части первого уравнения x+4y=-2.

По формуле квадрата суммы

(a+b)² =a² +2ab+b² :

(x+4y)² =x² +8xy+16y²

Таким образом, мы получим систему уравнений:

X² +8xy+16y² =4,

X² -4xy+16y²=28. (3)

Вычтем почленно из первого уравнения системы (3) второе:

8xy-(-4xy)=4-28

12xy=-24

xy=-2

Воспользуемся первым уравнением системы (1) и выразим одно неизвестное через другое, допустим x через y:

x+4y=-2

x=-4y-2

Подставим теперь в уравнение xy=-2 вместо x полученное выражение:

y(-4y-2)=-2

-4y² -2y+2=0

2y² +y-1=0

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

Y₁=-1 ; y₂=0.5

Подставляя полученные значения в уравнение x=-4y-2, найдем соответствующие значения x:

X₁=-4*(-1)-2

x₁=2

x₂=-4*0.5-2

x₂=-4

Ответ: ( 2, -1); (-4, 0.5).

1. Выполнение самостоятельной работы

(Повторить вид и оформление бланков).

Слайд 17,18

1. Проверка самостоятельной работы

(Бланки собрать, а проверить по тетрадям в которых решали)

Слайд 19

1. Домашнее задание.

Слайд 20

Средний уровень:

1.Повторить п.п.12-24 (учебник Ю.Н.Макарычев,9 класс);

2.Решить из сборника заданий (автор Л.В.Кузнецова)

№ 949, № 957

Повышенный уровень:

3.Решить из сборника заданий (автор Лысенко)

Вариант №15 (часть 2)

1. Рефлексия Слайд 21.