Определение: Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_1.png)
- система двух уравнений с двумя переменными x и y.
Решением системы являются корни
. При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_3.png)
Решение систем линейных уравнений.
Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.
Метод подстановки.
Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_1.png)
Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y из второго уравнения системы.
Замечание: «Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_5.png)
Оставим слева только y:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_6.png)
И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у выражение, которому оно равно, т.е.
.
Первое уравнение :
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_8.png)
Подставим
:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_10.png)
Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений..
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_11.png)
Итак, значения переменной x найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y. Здесь получилось два значения x, т.е. для каждого из них следует находить значение y .
1) Пусть ![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_12.png)
Подставляем в выражение
.
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_14.png)
2) Пусть ![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_15.png)
Подставляем в выражение
.
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_17.png)
Все можно составлять ответ: ![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_18.png)
Замечание: Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ: ![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_18.png)
Замечание: В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.
Оформим решение этой системы по-школьному:
Замечание: Знак «
» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.
Пример 3:
Решить систему уравнений:
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_1.png)
Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_22.png)
Ответ: ![](https://fsd.videouroki.net/html/2016/04/17/98734537/98734537_18.png)
Замечание: Отличие от примера 1 заключается в том, что система всегда пишется полностью, т.е. даже то уравнение, которое не преобразуется. Это лишний труд.
Замечание: Очень-очень часть ответ, записанный здесь в виде
школьные учителя записывают в виде
, делая заявление, что переменные перечислены по алфавиту. Но это делать глупо, решающий человек должен максимально исключить двусмысленность своей записи, а запись
не оставляет место для вопросов.