Системы счисления

Цель:

Познакомить учащихся с видами систем счисления, с историей непозиционных систем счисления. Научить учащихся переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Развивать у школьников теоретическое мышление

Задачи:

1. Воспитательная

развитие познавательного интереса,

развивать чувство коллективизма, умение выслушивать ответы товарищей;

прививать интерес к предмету.

2. Учебная

обсудить разнообразие систем счисления;

показать на примерах перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную;

объяснить алгоритм перевода чисел из десятеричной системы в двоичную;

3. Развивающая

развитие алгоритмического мышления, памяти внимательности;

развитие познавательного интереса, логического мышления;

умение выслушивать ответы товарищей;

Формы и методы обучения: словесный, наглядный, практический – индивидуальная робота, работа с классом.

Общее время: 40 минут

Оборудование: Презентация к уроку «Системы счисления», раздаточный материал, карточки с заданиями для индивидуальной работы, проектор, компьютер.

Ход урока

Орг. момент

Здравствуйте ребята! Тема нашего сегодняшнего урока: «Системы счисления». Сегодня мы должны познакомиться с видами систем счисления. Узнать историю непозиционных систем счисления. Научиться переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Пользоваться развернутой формулой числа. Также решим несколько занимательных задач, а в конце урока небольшая самостоятельная работа по пройденному материалу.

Новый материал

Хочу начать урок со слов известного математика Пьера Симона Лапласа (1749 – 1827гг) «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им не только значение по форме, но еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна…»  (Слайд1)

В тетрадях запишите число и тему урока: «Системы счисления»

Начнем наш урок с определения систем счисления (Слайд 2)

Система счисления - это совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов (некоторый способ кодирования числовой информации).

(Слайд 3) Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки которые используются при записи чисел, называются цифрами. (раздаточный материал Приложение 1)

Сначала рассмотрим непозиционные системы счисления.

Об истории непозиционных систем счисления нам расскажут ученицы (Слайд 4-14).

Итак, вы познакомились с историей непозиционных систем счисления. Остановимся поближе на Римской непозиционной СС. (Слайд 14)

            В Римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: (раздаточный материал) Таблица 1 – смотрите документ

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. (Слайд 15)

В таком случае их значения складываются.

Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример:

CCXXXII=100+100+10+10+10+1+1=232
VI=5+1=6
IV=5-1=4
MCMXCVIII=

=1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998 (Раздаточный материал Приложение 2)

В конце урока вам будет предложено несколько примеров для самостоятельного решения.

Теперь поговорим о позиционных системах счисления.

Создание позиционных систем счисления позволили записывать сколь угодно большие числа с помощью небольшого количества цифр, а также возникла возможность упростить выполнение арифметических операций над числами.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел. (Слайд 16)

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Каждая позиционная сс имеет определенный алфавит цифр и основание.

Основание – это количество используемых цифр. (Слайд 17) (Раздаточный материал Приложение 3)

СС, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе  с основанием п нужно иметь алфавит из п цифр. Обычно  для этого при п< 10 используют п первых арабских цифр, а при п>10 к десяти арабским добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем. (Слайд 18) (раздаточный материал Таблица2)

Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу.

Например: 101101₂, 7658₁₀, 3В8А₁₆ (Показать пример на доске)

В системе счисления с основанием q единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ричной системе счисления требуется q различных цифр, изображающих числа 0,1,…, q-1. (Слайд 19)

Развернутой формулой числа называется запись в виде:

А_q=a_n*qⁿ+a_n-1*q^n-1+…+a₀*q⁰+a_-1*q^-1+ …+a_-m*q^-m

где

А_q =само число

q-основание системы счисления

а – цифры данной системы счисления

п – число разрядов

Развернутая форма числа в двоичной сс:

А₂=a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₀*2⁰+a_-1*2^-1+ …+a_-m*2^-m

Пример: Получить развернутую форму десятичных чисел: (Слайд 20)

32478₁₀=3*10⁴+2*10³+4*10²+7*10¹+8*10⁰

Пример: На доске написать развернутую форму десятичного числа на доске (1 человек) 17368₁₀

Для перевода целого числа из СС с основанием  10 в СС с основанием 2 необходимо: (Слайд21)

Это число разделить на 2, полученное частное вновь делят на2 и так до тех пор пока последнее частное не окажется меньше 2.

В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

53₁₀= 110101₂

Проверка: 110101₂=1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+ =32+16+4+1=53

Решение примеров на доске  2 человека: Перевести из десятичной СС в двоичную числа 27 и 32 и выполнить проверку. Ответ: (11011, 100000)

А теперь с помощью таблицы(3), решим занимательные задачи. Таблица№3 лежит у вас на партах

Пример: Для удобства запишем начало натурального ряда чисел в  десятичной  и  двоичной системах счисления: (Слайд22) (Раздаточный материал Таблица3)

Закрепление

А теперь решим несколько занимательных задач пользуясь таблицей: (Слайд 23,24)

ДИАЛОГ

Вопрос: Какая система счисления используется повсеместно в наше время? Ответ:   Десятичная.

Вопрос: Сколько цифр в десятичной системе и в двоичной системе счисления? Ответ:   Десять и две 

Вопрос: Какие это цифры? Ответ:   Цифры от 0 до 9, и 0,1

Вопрос: Меняется ли десятичное числа, если переставить в нем цифры? Ответ:   Да, меняется

Самостоятельная работа обучающего характера.

Индивидуальная работа по карточкам.

Подведение итогов. Домашнее задание

Итак, сегодня вы познакомились с понятием СС, с историей непозиционных систем счисления. Научились переводить числа из десятичной СС в двоичную и обратно. Пользоваться развернутой формулой числа.

Домашнее задание: Параграф 4, задание №6 письменно в тетради.