Системы счисления. Арифметические действия в двоичной системе счисления

Цель: продолжить изучение систем счисления, изучить историю возникновения систем счисления, повторить способы перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную и обратно, научиться выполнять арифметические действия с двоичными числами.

Задачи обучающие (образовательные): закрепить сведения о системах счисления, познакомиться с историей возникновения систем счисления, усовершенствовать навыки использования информационных технологий (навыки работы в текстовом редакторе и графическом редакторе (копирование объектов), использование Калькулятора), усовершенствовать навыки перевода чисел из одной системы счисления в другую, навыки составления чисел в непозиционной системе счисления, сформировать навыки выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления – на репродуктивном уровне.

Задачи развивающие: развивать внимание, речь, воображение, интерес учащихся к изучаемым предметам.

Задачи воспитательные: умственное и эстетическое воспитание учащихся, показать возможность яркого оформления устного рассказа.

Ход урока:

Учитель информатики (Ольга Александровна):

Сегодня, ребята, наш урок будет необычным. Мы проведем совместно урок математики и информатики. Прежде чем начать, давайте проведем интеллектуальную разминку и отгадаем тему сегодняшнего урока. Вам предстоит отгадать кроссворд и ребус.

Посмотрите, пожалуйста, на кроссворд (Презентация 1 страница (Тема урока)).

 Какое слово появилось у нас по вертикали? Система. Системы бывают разные. Какие же системы мы будем сегодня продолжать с вами изучать, давайте выясним, отгадав ребус. Что означают запятые, поставленные в начале или конце рисунка? (Столько букв сначала или в конце надо отбросить). Что означала бы запись «е=и»? (Букву е в слове надо заменить на и). Итак, теперь, когда завершилась наша интеллектуальная разминка, мы поняли, что сегодня мы продолжим изучать системы счисления.

Кто мне скажет определение систем счисления? (Презентация страница 2 – «Система счисления»)

Прежде всего, нам необходимо совершить путешествие в историю чисел, далее мы с вами вспомним, какие системы счисления называют позиционными, а какие  непозиционными, каким образом переводят числа из одной системы счисления в другую, и наконец научимся совершать действия с ними.

«Все есть число», - говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. (Презентация 3 страница «Все есть число»)

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами. Слово цифра произошло от латинского слова cifra  и переводится как знаки для обозначения чисел. (Презентация 4 страница – «Цифра – cifra (лат.) – знаки для обозначения чисел»). Запишите, пожалуйста, к себе в тетрадь это определение.

Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше.

 Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три – это «два, один», четыре -  «два, два»,  пять – «два, два, один».

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.

Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам. (Презентация 5 страница «Унарная система счисления»). Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов». Ведь при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной (унарной), т.к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Давайте запишем определение унарной системы счисления  к себе в тетрадь (Унарной (единичной) называется такая система записи чисел, при которой число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу). Приведите мне пример унарной  (единичной) системы счисления сегодня (курсант военного училища носит нашивки на рукаве, по ним можно узнать на каком курсе он учится; малыши показывают на пальцах сколько им лет, первоклассники учатся считать с помощью счетных палочек). Скажите, пожалуйста, единичная система – удобный способ записи чисел? Нет, когда надо записывать большие числа. Поэтому с течением времени возникли другие системы счисления, более удобные.

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1,10,100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. (Презентация 6 страница «Древний Египет»). Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения. А сейчас мы выполним первое задание из практической работы (папка 6 класс/Заготовки/Древний Египет). Вы должны будете в текстовом процессоре MS Word, используя копирование, составить из символов древне-египетской системы счисления числа 3252, 727, 99. Проверим, результат вашей работы…  Кто скажет, какое арифметическое действие используется для формирования числа из цифр? (сложение). Скажите, пожалуйста, зависит ли величина числа от того, в каком порядке располагаются составляющие его знаки? Можно их написать сверху вниз, снизу вверх, справа налево, вперемешку? Как называется система счисления, в которой количественное значение цифры не зависит от места (позиции), которую она занимает в числе? Непозиционная.

Скажите, а какая непозиционная система счисления вам давно знакома? С помощью какой непозиционной системы счисления обозначаются главы в книгах? Римской. Давайте вспомним символы, с помощью которых обозначают цифры в римской системе счисления. (Презентация страница 7 «Римская система счисления»). Кто сможет записать в римской системе счисления год своего рождения? Пишут на доске. А кто сможет записать это же число иначе? А можно записать это же число другим образом? Скажите, пожалуйста, меняется ли значение цифр в зависимости от перестановки в числе? Нет. Обратите внимание, если в Древнем Египте числа записывали, используя только сложение, то древние римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака (Презентация страница 8: числа IX, XI, IV, VI, XL, LX, XC, CX, CD, DC, DM, MD, дети называют значения, можно обводить «маркером» прямо в презентации).

Говоря о непозиционных системах счисления, нельзя не сказать о славянском цифровом алфавите. (Презентация страница 9 – «Славянский цифровой алфавит»). О ней нам расскажет… (Доклад: Алфавитной нумерацией пользовались как греки, так и южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же ( в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшее цифру, ставился специальный значок  «титло». При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным). Посмотрите, пожалуйста, на  славянский цифровой алфавит. Например, если записать в славянской нумерации числа 55,288,1 и 498, то получится фраза: не спи, а учи. В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Презентация страница 10 «Обозначение больших величин у славян»

Спасибо, …, за рассказ. А теперь, выполним второе задание практической работы. Загрузите графический редактор Paint. Откройте 6 класс/Заготовки/славянские числа. Ваша цель составить числа 244 и 1993 с помощью символов славянского цифрового алфавита  в графическом редакторе Paint. В этой работе выделяйте нужные символы с помощью инструмента «Выделение прямоугольной областью» и используйте копирование. Проверим результат работы (Презентация страница 11 «244, 1993»)

Итак, ребята, мы с вами так долго говорили о непозиционных системах счисления.

А теперь, давайте дадим определением позиционной системы счисления (система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в числе). Что такое основание системы счисления? (количество используемых в системе счисления цифр) Какие позиционные системы счисления вы знаете? (десятичную, двоичную) (Презентация страница 12 «Позиционные системы счисления») Про двенадцатеричную и другие системы счисления нам расскажет… ( Презентация страница 13 «Двенадцатеричная система счисления»

Доклад: Широкое распространение до первой трети XX века имели элементы двенадцатеричной системы счисления. Число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (2,3,4,6) чем 10 (2,5). Поэтому в двенадцатеричной системе счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной. Неудивительно, что в XIX веке среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему счисления. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов на сторону числа 10. Тем не менее, дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12 или 24, чайные и столовые сервизы бывают на 6 или на 12 персон; комплект носовых платков – 12 штук. А вот шведский король Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную. Только неожиданная смерть короля помешала осуществлению столь необычного намерения).

Учитель математики (Игорь Юрьевич):

Ребята, какая система счисления используется в компьютерной технике? (двоичная). Что такое двоичное цифровое кодирование? (представление любого вида информации с помощи последовательности битов) Для чего нужно представлять любую информацию в виде 0 и 1? (потому что в компьютере передаваться, храниться и обрабатываться может только информация представленная в виде 0 и 1). Ну что же, поработаем с вами компьютерами и переведем число 24 методом разностей в двоичную систему счисления на доске (один ученик) и в тетрадях. Этот метод называют еще содержательным. Проверим себя, переведем это же число методом деления (второй ученик) на доске и в тетрадях. Этот метод называют формальным. Еще раз проверим себя, на этот раз с помощью компьютерной программы Калькулятор (ПускàПрограммы®Стандартные®Калькулятор). Убедитесь, что активизирован инженерный вид калькулятора (Вид®Инженерный). Обратите внимание на переключатели Hex (hexadecimal) - шестнадцатеричная, Dec (decimal) - десятичная, Oct (octal) - восьмеричная, Bin (binary) – бинарная. Установим переключатель в положение Dec  и введем число 24, а теперь переведем переключатель в положение Bin. Мы видим число 24 в двоичной записи. А теперь поучимся  выполнять арифметические операции с числами в двоичной системе счисления.

Составить таблицу сложения и умножения двоичных чисел. (Презентация страница 14 «Таблицы сложения и умножения в двоичной  системе счисления»)

Выполнить на доске примеры (вызываются ученики по очереди к доске, остальные в тетради):

1101+101 (давайте проверим себя с помощью программы Калькулятор); 10101+11; 1101+111;

10101-11; 1111-11; 1011-101;

101*11; 111*10; 1010*101;

1110/10; 1111/101; 110010/10.

Вот и подошел наш урок к концу, давайте вспомним, о чем мы сегодня с вами говорили, какой была тема нашего урока? Системы счисления. Дайте определение системам счисления. Какие две группы систем счисления вы знаете? Какую систему счисления называют позиционной? Непозиционной? А еще мы вспомнили, перевод чисел в двоичную систему счисления и обратно, и научились выполнять с ними арифметические действия.

Дз Решить примеры 25à двоичную и обратно; 1111+101; 10000-111; 1001*101; 1010/10.