Симметрия помогает

0

Тема: «Симметрия помогает»

Автор работы:

Кряквина Лилия Низамитдиновна,

учитель математики,

МБОУ «Школа № 31»,

г. Ростов-на-Дону

г. Ростов-на-Дону

2020 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ	3
2. О СИММЕТРИИ В ГЕОМЕТРИИ	4
3. О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ	6
4. СИММЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ	11
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ	14
6. ЛИТЕРАТУРА	15
7. ПРИЛОЖЕНИЯ	16

1. ВВЕДЕНИЕ

Тема исследования работы: является центральная, осевая симметрия, симметрические многочлены, а также симметрия относительно конечной группы преобразований. Объект и предмет исследования: геометрические задачи, системы уравнений, иррациональные уравнения и задачи с параметрами. Рассматриваемая проблема: поиск и построение эффективных алгоритмов, использующих методы симметрии для решения задач. Гипотеза: предполагается, что методы, базирующиеся на симметрии, должны оптимизировать решение некоторых задач в математике. Цели и задачи данной работы: знакомство с некоторыми приёмами, основанных на свойствах симметрии. Методы исследования: свойства центральной и осевой симметрии, симметрические многочлены, инвариантность относительно конечной группы преобразований. Этапы исследования: использование свойств центральной и осевой симметрии при решении геометрических задач; решение некоторых иррациональных уравнений и систем уравнений с помощью симметрических многочленов; решение уравнений и систем с параметрами, основанный на симметрии конечной группы преобразований. Выводы: если задача содержит тот или иной вид симметрии, то её можно решить рациональней и проще методом, основанном на её свойствах. Результаты: полученные методы решения предложенных задач, использующие симметрические преобразования, продемонстрировали свою эффективность. Новизна темы: показан новый подход к решению систем высокого порядка, а метод симметрии относительно конечной группы преобразований, являющийся ключевым моментом в представленном материале, очень оригинален. Актуальность темы: описанные методы не только красивы, но имеют вполне конкретный практический смысл, представленные в работе факты интересны и могут быть использованы как справочный материал.

1. О СИММЕТРИИ В ГЕОМЕТРИИ

Говорят, что плоская фигура F симметрична, если существует нетривиальное (т.е. отличное от тождественного) движение плоскости, переводящее фигуру F в себя. Например, равнобедренный треугольник переходит в себя при отражении относительно его высоты, а равносторонний треугольник переходит в себя при отражении относительно всех его высот, а также при поворотах на углы 2π/3 и 4π/3[3;3]. В геометрии мы определяем центральную, осевую и зеркальную симметрии. Ряд геометрических задач эффективно решаются с их применением. Рассмотрим следующие задачи.

Задача № 1[5,332].

Двое игроков поочерёдно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда сможет выиграть.

Решение.

Первый игрок кладёт пятак в центр стола, а затем кладёт пятаки симметрично пятакам второго игрока относительно центра стола. При такой стратегии первый игрок всегда имеет возможность сделать очередной ход. Ясно также, что игра завершается за конечное число ходов.

Задача № 2 [5, 341]

Докажите, что площадь любого выпуклого четырёхугольника не превосходит половины суммы произведений противоположных сторон.

Решение.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть _{ } - точка, симметричная точке D относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC (диагональ четырёхугольника). Тогда _{ }, что и требовалось доказать.

Очевидно, что при решении первой задачи использовалась центральная симметрия, а во второй задаче свойство осевой симметрии существенно упростило её решение. Рассмотрим ещё одну задачу, в решении которой помогает осевая симметрия.

Задача №3 [7, 57].

Дана прямая l и две точки А и В, лежащие по одну сторону от нее. Найти кратчайший путь из А в В с заходом на прямую l.

Решение.

Обозначим через А’ точку, симметричную точке А относительно прямой l. Пусть Х- некоторая точка, лежащая на прямой l. Тогда |AX| = |A’X\| и |AX|+|BX|=|A’X| + |XB| Путь из А в В с заходом на прямую l равен длине ломаной A’XB; он будет кратчайшим, если длина этой ломаной будет наименьшей. Тогда ломаная A’XB должна превратиться в отрезок A’B, а точка X – перейти в точку С=|A’B| ∩(l)/ Путь ACB будет искомым. Из решения задачи следует, что для наикратчайшего пути АСВ углы 1 и 2 равны между собой. Итак, наикратчайший путь можно охарактеризовать тем, что для него «угол падения» равен «углу отражения». Осевая симметрия часто используется для отыскания кратчайшего пути или реализации ситуации «угол падения равен углу отражения».

1. О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ

Совокупность Sym F всех движений, переводящих фигуру F в себя, называется группой симметрии фигуры F. Эта совокупность обладает следующими свойствами:

1. Она содержит тождественное преобразование.

2. Если движение φ переводит фигуру F в себя, то и обратное ему движение _{ } переводит её в себя.

3. Если φ и ψ переводят F в себя, то и их композиция – такое движение , что (φ◦ψ)(x)= φ(ψ(x)) (т.е. результат последовательного выполнения движений ψ и φ: сначала ψ, затем φ) – тоже переводит F в себя.

Некоторые плоские фигуры и пространственные тела могут обладать симметрией [3, 3]. То же самое можно сказать и о многочленах. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены – это многочлены, не изменяющиеся при любой перестановке данных. Точнее говоря:

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x [2;8].

–

–

Многочлен x²y + xy² — симметрический. Напротив, многочлен x^{3 -} 3y² не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y^{3 -} 3x², который не совпадает с первоначальным. Вот некоторые примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е.

x + y = y + x

для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим. Точно так же из закона коммутативности умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Симметрические многочлены x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y. Для них используют специальные обозначения:

s₁ = x + y, s₂ = xy.

Кроме s₁ и s₂, будем рассматривать так называемые степенные суммы, т. е. многочлены x² + y², x³ + y³, . . ., xⁿ + yⁿ, . . . Принято обозначать многочлен xⁿ + yⁿ через s_n. Таким образом,

s₁ = x + y, s₂ = x² + y², s₃ = x³ + y³, s₄ = x⁴ + y⁴, …

Рассмотрим применение симметрических многочленов при решении некоторых систем уравнений.

1. Решить систему уравнений

Введем новые переменные _{ }1 = x + y, σ2 = xy.

Обращаясь к таблице 1 находим:

_{ } σ1^3 - 3*σz*σ2

Для новых неизвестных получаем следующую систему уравнений:

Из этой системы получаем σ2=6.Итак, σ1=5,σ2=6

Для первоначальных неизвестных x,y мы получаем следующую систему:

Эта система уравнений легко решается (например, теорема сводит решение этой системы к решению квадратного уравнения

_{ }= 0), и мы получаем следующие решения первоначальной

системы:

2. Решить систему уравнений

Решение проводится аналогично: полагая _{ }1 = x + y, σ2 = xy

приводим исходную систему к виду

(см. таблицу 1 в приложении). Отсюда для _{ }получаем квадратное уравнение

Или

σ2^2 - 9*σ2 +14=0

Из этого уравнения находим два значения для _{ } :

_{ }.

Таким образом, для первоначальных неизвестных x, y получаем две

системы уравнений:

Решая эти системы, находим четыре решения первоначальной

системы:

_{   }

При решении систем уравнений указанным способом часто оказывается полезной теорема Безу. Решая системы новым методом, можно заметить его преимущество перед методом исключения переменной, так как он позволяет понизить степень многочлена. Рассмотрим применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. Некоторые иррациональные уравнения решаются также эффективно при использовании симметрических многочленов. Рассмотрим примеры.

1. Решить иррациональное уравнение

_{ } + _{ }=5

Положим _{ }=y и _{ }=z

Тогда рассматриваемое уравнение

примет вид y + z = 5. Кроме того, имеем:

Таким образом, мы получили систему уравнений

Введение неизвестных _{ } сводит её к системе

из которой получаем для квадратное уравнение

Решая это квадратное уравнение, находим:

_{ }

Таким образом, задача свелась к решению двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет решения

Так как _{ }=y , то для первоначального неизвестного x получаем два решения: x1 = 16, x2 = 81. Вторая система даёт для y и z, а значит, и для x, ещё два решения (они комплексны, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения неизвестных). Здесь мы увидели, что был использован один довольно общий метод, позволяющий решать системы уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применим не ко всякой системе. В отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Метод, который был использован, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама эта теория очень проста и позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение уравнений и систем высших степеней, иррациональных уравнений и т. д.).

1. СИММЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ

А теперь рассмотрим не менее интересные задачи, ключевым признаком которых является инвариантность (т.е. неизменяемость) уравнения или неравенства относительно замены переменных каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Алгебраические выражения, которые не меняются при подстановке вместо переменной какого-либо алгебраического выражения от этой переменной, также называются инвариантными относительно такой подстановки [6,147]. Отметим, что свойство инвариантности упрощает решение некоторых видов задач с параметрами. Рассмотрим примеры решения уравнений и систем с параметрами, которые используют симметрию относительно конечной группы преобразований.

1. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых существует единственная тройка (x; y; z) действительных чисел x; y; z, удовлетворяющая системе уравнений

_{ }(1)

Решение.

Заметим, что в первом уравнении системы (1) смысл системы не меняется при замене _{ } . Следовательно, найдём x, решая уравнение _{ }. Это уравнение равносильно уравнению _{ }, откуда найдём корни уравнения x=±2.

1. Рассмотрим случай, когда x=2. Система (1) примет вид:

_{ }

Это возможно только при y=_{ }, так как f(a)=_{ } и f(y)=_{ } Следовательно, f(a)=f(y) при f(a)=f(y)=0.

_{ } Откуда y=0 и a==±2.

Рассмотрим a=2:

_{ }.

Так как дискриминант уравнения отрицателен, то уравнение не имеет решений и, следовательно, a≠2.

Рассмотрим a=-2:

_{ }, _{ } Очевидно, что корень этого уравнения z=1, откуда a= -2.

1. Рассмотрим случай, когда x= -2. Тогда имеем

_{   }

Это невозможно, так как оба слагаемых принимают неотрицательные значения, значит и их сумма неотрицательна. Следовательно, x≠ - 2.

Ответ: -2.

Решая это уравнение, можно заметить, что здесь группа симметрии состоит из двух элементов.

2. Найти все решения уравнения: _{ } [1,147] (2)

Решение.

Рассмотрим уравнение _{ }, которое является следствием уравнения (2). Очевидно, что оно имеет не более шести корней при a≠0; a≠1. Легко увидеть, что решением уравнения будет x=a. Остальные корни будем находить, используя инвариантность группы. В этой задаче группа преобразований состоит из 6 элементов. Построим таблицу Кэли (см. приложение, таблица 2) для этой группы, где групповой операцией будет подстановка.

Подстановка	x	1-x
x	x	1-x
1-x	1-x	1-(1-x)=x
		1-  = 			 = 
		1-  = 
		1- = 	 =1-x
		1-	 = 

Из этой таблицы видно, что имеет место группа симметрии, состоящая из 6 элементов. Используя этот факт, мы получим y = 1 – x = a, _{ } . Далее получаем корни x = 1 -a; x = _{ }, x = 1 - _{ } В итоге получили шесть корней. Можно заметить, что использованный метод красив и оригинален

1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленный в работе материал интересен и полезен для практического применения, поскольку знакомит с эффективными методами, основанными на симметрии. Эти методы позволяют решать достаточно сложные задачи. В некоторых иррациональных уравнениях и системах уравнений высоких степеней решения быстро находятся с помощью симметрических многочленов. Использование инвариантности относительно конечной группы преобразований позволяет эффективно справляться с задачами с параметрами. А центральная и осевая симметрии радикально упрощают решение геометрических задач. Хотя методы, основанные на симметрии, не всегда можно использовать, но они красивы и очень полезны, так как имеют вполне конкретный практический смысл. Результаты этой исследовательской работы могут использоваться как справочный материал школьниками при решении задач. Естественно, что любая удобная для практического использования формула или подход даёт хороший опыт работы с заданиями творческого характера и это интересно.

1. ЛИТЕРАТУРА

1. В.М. Алексеев. Избранные задачи. Сборник. Пер. с английского Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1977. – 597.

2. В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин. Симметрия в алгебре. 2-е издание. – М.: МЦНМО, 2002. – 240 с.

3. Э.Б. Винберг Симметрия многочленов (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»»)- М.: МЦНМО, 2001. – 24 с.

4. Парамонова И.М. Симметрия в математике. (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»»)- М.: МЦНМО, 2000. – 16 с.

5. В.В. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии – М.: МЦНМО, 2001. – 551 с.

6. С.А. Шестаков. ЕГЭ 2019. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень)- М.: МЦНМО, 2019. – 288 с.

7. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,9 выпуск-М.:МЦНМО, 1976. - 84 с.

1. ПРИЛОЖЕНИЯ

Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

Существует простой приём, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмём любой (вообще говоря, несимметрический) многочлен от s₁ и s₂ и подставим в него вместо s₁ и s₂ их выражения через x и y. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и y (ведь ни s₁ = x + y, ни s₂ = xy не меняются при перестановке местами x и y, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающийся через x + y и xy). Например, из из многочлена _{ } получаем симметричный многочлен

(x + y)³ – (x + y)xy = x³ + 2x²y + 2xy² + y³.

Итак, если взять любой многочлен от s₁ и s_{2 и подставить в него вместо} s₁ и s₂ их выражения s₁ = x + y, s₂ = xy, то получится симметрический многочлен от x и y. Приём построения симметрических многочленов является общим, то есть с его помощью можно получить любой симметрический многочлен [2,9]. Например, степенные суммы s₁, s₂, s₃, s₄ без труда выражаются через s₁ и s₂:

s₁ = x + y = s₁;

1

s₂ = x² + y² = (x + y)² – 2xy = s² – 2s₂;

1

s₃ = x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)= (x + y)((x + y)² – 3xy)= s₁(s² – 3s₂);

1

2

s₄ = x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² – 2x²y² = (s² – 2s₂)² – 2s².

В качестве следующего примера имеем симметрический многочлен

x³y + xy³. Мы имеем:

1

x³y + xy³ = xy(x² + y²)= s₂(s² – 2s₂)

Теорема. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от s₁ = x + y и s₂ = xy.

Переходим к доказательству сформулированной теоремы. Мы осуществим его в два приёма. Сначала мы докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму _{ }можно представить в виде многочлена от _{ } и _{ }.

С этой целью мы умножим обе части равенства _{ } Получим:  

Таким образом, _{ } (1)

Из этой формулы и вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, мы уже проверили, что степенные суммы _{ }представляются в виде многочленов от _{ } Но если нам уже известно, что степенные суммы _{ } выражаются в виде многочленов от _{ }, то, подставляя эти выражения в формулу (1) , мы получим выражение степенной суммы _{ }через _{ } Иными словами, мы можем поcледовательно находить выражения степенных сумм через _{ } зная _{ }, находим по формуле (1) _{ } и т.д. Ясно, что рано или поздно мы получим выражение любой степенной функции _{ }через _{ } Таким образом, наше утверждение доказано методом математической индукции. Формула (1), составляющая основу изложенного доказательства, позволяет не только утверждать, что _{ }как-то выражается через _{ }, но также позволяет последовательно вычислять выражения степенных сумм _{ } через _{ }. Так, с помощью формулы (1) мы последовательно находим: _{ }

_{ }-_{ }+_{ } и т.д. В таблице 1 (см. Приложения) сведены выражения степенных сумм _{ } через _{ }эти выражения будут полезны для решения задач. Эту таблицу несложно построить с помощью формулы (1).

Доказательство основной теоремы. Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы, сформулированной ранее. Любой симметрический многочлен от x и y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

Во–первых, могут встретиться одночлены, в которые x и y входят в одинаковых степенях, т. е. одночлены вида ax^ky^k. Ясно, что

2

ax^ky^k = a(xy)^k = as^k,

т. е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через s₂.

Во–вторых, могут встретиться одночлены, имеющие разные сте

6

пени относительно x и y, т. е. одночлены вида bx^ky^l, где k = l. Ясно, что вместе с одночленом bx^ky^l симметрический многочлен содержит также и одночлен bx^ly^k, получаемый из bx^ky^l перестановкой букв x и y. Иными словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида b(x^ky^l + x^ly^k). Предполагая для определённости k l, мы сможем переписать этот двучлен следующим образом:

b(x^ky^l + x^ly^k)= bx^ky^k(y^l–k + x^l–k)= b_{ }.

–

А так как по доказанному степенная сумма s_{l k} представляется в виде многочлена от s₁ и s₂, то и рассматриваемый двучлен выражается через s₁ и s₂.

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде

суммы одночленов вида ax^ky^k и двучленов вида b(x^ky^l + x^ly^k), каждый из которых выражается через s₁ и s₂. Следовательно, любой симметрический многочлен, представляется в виде многочлена от s₁ и s₂.

Теорема полностью доказана [2,12].

Формула Варинга [2,15].

В математике часто встречаются суммы, все слагаемые которых похожи друг на друга. Точнее говоря, они получаются из некоторого выражения f(m), зависящего от m, при частных значениях m. Такие суммы принято записывать в виде

причем дополнительно надо указывать, какие именно значения принимает m.

Если, например, число m принимает все целые значения от 0 до некоторого p, то эту сумму

записывают в виде

Иными словами

Пользуясь знаком , мы можем переписать формулу (2) в виде

где p — наибольшее целое число, не превосходящее k/2 . В дальнейшем указания границ

изменения m мы будем опускать.

С помощью формулы Варинга легко получить снова формулы для степенных

сумм sk, 1

Определение

Пусть G-некоторая группа преобразований, состоящая из конечного числа элементов G={e,_{ }, _{ },…_{ }, где e, как обычно, тождественное преобразование. Поскольку произведение (операция группы) двух элементов также элемент группы, можно составить таблицу умножения или таблицу Кэли [4,10], на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит элемент _{ }.

Таблица 2.

Операция группы	e			… 
e	e		…………	………
		………….
……..	…….
………
	…….	……….