Решение систем линейных уравнений.
МАТРИЦЫ
Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX в. в работах У.Гамильтона и А.Кели. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К.Вейерштрассу, К.Жордану.
Матрица – это таблица чисел, составленная определенным образом.
Виды матриц
- Прямоугольная матрица m ≠ n
- Квадратная матрица m = n
2 1 3 4 5 6
1 2 3 1 -1 0
А =
3 1 2
4 -1 0
1 3 5
В =
Существуют и другие виды матриц:
- Матрица-строка (m = 1)
А = ( a11 a12 … an)
- Матрица-столбец (n = 1)
- Нуль-матрица
а 11
а 12
…
а 1m
A =
0 0 … 0
0 0 … 0
…………
0 0 … 0
A =
- Единичная матрица
- Транспонированная матрица
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I =
а 11 а 21
а 12 а 22
а 13 а 23
а 11 а 12 а 13
а 21 а 22 а 23
A =
=
А т =
- Присоединенная матрица
А 11 А 12 А 13
А 21 А 22 А 23
А 31 А 32 А 33
А =
, A 12 = -
A 11 =
a 21 a 23
a 31 a 33
a 22 a 23
a 32 a 33
, … , A 33 =
a 11 a 12
a 21 a 22
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
умножение
а 11 а 12
а 21 а 22
b 11 b 12 b 13
b 21 b 22 b 23
А ∙ В =
∙
=
а 11 b 11 +а 12 b 21 а 11 b 12 +а 12 b 22 а 12 b 13 +а 12 b 23
а 21 b 11 +а 22 b 21 а 21 b 12 +а 22 b 12 а 21 b 13 +а 21 b 23
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Определение : Матрица А -1 называется обратной по отношению к матрице А , если выполнено равенство:
А А -1 = А -1 А = I ,
где I – единичная матрица.
Обратная матрица А -1 находиться по следующему правилу:
А 11 А 21 А 31
А 12 А 22 А 32
А 13 А 23 А 33
1
det A
А -1 =
а 11 а 12 а 13
∆ = а 21 а 22 а 23
а 31 а 32 а 33
а11 а22 а33 - главная диагональ
а 13 а22 а31 - побочная диагональ
«Звездочка»
а 11 а 12 а 13
∆ = а 21 а 22 а 23 =
а 31 а 32 а 33
а 11 ∙ а 22 ∙ а 33 + а 12 ∙ а 23 ∙ а 31 + а 21 ∙ а 32 ∙ а 13 –
- (а 31 ∙ а 22 ∙ а 13 + а 21 ∙ а 12 ∙ а 33 + а 32 ∙ а 23 ∙ а 11 )
Способ вычисления определителя через алгебраические дополнения
а 11 а 12 а 13
∆ = а 21 а 22 а 23 =
а 31 а 32 а 33
= А 11 = а 22 а 23 - А 12 = а 21 а 23 +
а 32 а 33 а 31 а 33
А 13 = а 21 а 22
а 31 а 32
Габриел ь Крамер
(1704-1752)
МЕТОД КРАМЕРА
a). Если , то система
имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера :
где определитель n-го порядка i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b 1 , b 2 ,..., b n .
a 11 x 1 +a 12 x 2 +a1 3 x 3 +…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +…a 2n x n =b 2 ………………………………………… a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x 3 +…a mn x n =b m
х 1 =
∆ 1
, х 2 =
∆
∆ 2
, х i =
∆
∆ i
∆
б). Если , то система
либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет.
a 11 x 1 +a 12 x 2 +a1 3 x 3 +…a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +…a 2n x n =b 2 ……………………………………………… a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x 3 +…a mn x n =b m
Алгоритм решения
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.
1. В данной системе составим главный определитель и вычислим.
2. Составить и вычислить следующие определители :
3. Воспользоваться формулами Крамера.
Пример:
Ответ: x=0,5 ; y=2 ; z=1,5 .
Гаусс Карл Фридрих
(30.4.1777-23. 2. 1855)
Поясним смысл метода Гаусса на системе четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.
a11x + a12y + a13z + a14u = a1 (a)
a21x + a22y + a23z + a24u = a2 ( б )
a31x + a32y + a33z + a34u = a3 ( в )
a41x + a42y + a43z + a44u = a4 ( г )
Допустим, что а = 0 ( если а = 0, то изменим порядок уравнений, в котором коэффициент при x = 0)
I шаг: Делим уравнение (а) на а 11 , умножаем полученное уравнение на а 21 и вычитаем из (б); затем умножаем на а 31 и вычитаем из (в); наконец умножаем на а 41 и вычитаем из (г). В результате I шага приходим к системе:
x + b 21 y + b 13 z + b 14 u = b 15 (д)
b 22 y + b 23 z + b 24 u = b 25 (е)
b 32 y + b 33 z + b 34 u = b 35 (ж)
b 42 y + b 43 z + b 44 u = b 45 (з)
Причем b получается из а (где i –номер строки, а j - номер столбца) по следующим формулам:
b ij = a ij \ a 11
b ij +a i1 - ab j1 ( i + 2,3,4; j=2,3,4,5)
I I шаг: Поступаем с уравнениями (е) ,(ж) ,(з) точно так же , как с уравнениями (а), (б), (в),(г). В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
x + b12y + b13z + b14u =b15 ( д )
b22y + b23z + b24u =b25 ( е )
b32y + b33z + b34u =b35 ( ж )
b42y + b43z + b44u =b45 (з)
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно, без труд.
Пример: Решить систему уравнений
х 1 + х 2 – 0,5х 3 = 2
3х 1 – х 2 – 3х 3 = 7
х 1 + 3х 2 – 2х 3 = 3
1 1 -0,5
3 -1 -3 = 9 (∆ ≠ 0 = система совместна
1 3 -2 имеет единственное решение)
∆ =
1 1 -0,5 2
3 -1 -3 7
1 3 -2 3
1 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 -2 1,5 -1
A =
~
~
1 1 -0,5 2
0 -4 -1,5 1
0 0 4,5 3
~
Вернёмся к системе:
х1 + х2 – 0,5х3 = 2 х3 = -2/3
-4х2 -1,5х3 = 1 х2 = 0
-4,5х = 3 х1 = 5\3
Ответ: 5/3; 0; -2/3
МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ
Алгоритм решения:
- Проверить систему на совместность.
- Составить присоединенную матрицу :
- Транспонируем присоединенную матрицу:
а 11 а 12 а 13
а 21 а 22 а 23
а 21 а 22 а 23
А =
а 11 а 21 а 31
а 12 а 22 а 32
а 13 а 23 а 33
А т =
- Составим обратную матрицу:
- Итог решения:
X = A -1 ∙ В
а 11
∆
a 21
a 12
∆
∆
a 31
a 22
a 13
∆
∆
∆
a 23
a 32
∆
∆
a 33
∆
А -1 =
Задача
Мы за время летних каникул заработали 100 тысяч рублей. В банке, где мы решили поместить свои деньги на самых выгодных условиях, мы узнали о наличии особого вида сбережения – математического счета. Для таких счетов банк гарантирует свой обычный процент на момент открытия счета в двукратном размере при условии, если вкладчик разделит определенным образом свой вклад на три части в трех отделениях банка, если же вкладчик не сможет этого сделать, он получит обычный процент.
Условия банка следующие: разделить вклад на три части в отделениях банка А, Б, В так, чтобы
- величина вклада в отделении Б равнялось сумме величины вклада в отделении А и удвоенной величины вклада в отделении В;
- величина вклада в отделении В равнялось сумме удвоенной величины вклада в отделении А и утроенной величины вклада в отделении Б;
- утроенная величина вклада в отделении А равнялось сумме удвоенной величины вклада в отделении Б и утроенной величины вклада в отделении В.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Составим систему уравнении согласно условиям, предложенные банком, где сумма денег в ячейке А = х, Б = y и В = z :
4 = x + 2 z
z = 2 x + 3 y
3 x = 2 y + 3 z
Преобразуем уравнения системы:
x – y + 2 z = 0
2 x + 3 y – z = 0
3 x – 2 y – 3 z = 0
Данную систему решим методом Крамера:
1. Найдем главный определитель:
∆ =
-40
∆ х =
0 -1 2
0 3 -1
0 -2 -3
= 0
∆ ≠ 0 = система совместна и имеет единственное решение.
2. Найдем следующие определители:
∆ х = 0, ∆ y = 0, ∆ z = 0
3. По формуле Крамера найдем х, у, z
x = 0, y = 0, z = 0