Решение рациональных неравенств методом интервалов

Автор: преподаватель математики Сагитова Л. М.

Тема урока: «Решение рациональных неравенств методом интервалов»

Цели: Закрепить и проверить навыки решения рациональных неравенств высших степеней методом интервалов.

Образовательная:

1) формировать представления о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

2) формировать основы логического, алгоритмического и математического мышления;

3) формировать умения применять полученные знания при решении различных задач;

4) научиться решать рациональные неравенства методом интервалов;

5) формирование навыка вычисления значений функции в точке;

6) формирование навыка построения графика на компьютере при решении задач.

Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать..

1)формирование умения самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность;

2) Формировать графическую культуру обучающихся, развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа

3) формирование навыков познавательной, учебно-исследовательской деятельности, навыков разрешения проблем; способности и готовности к самостоятельному поиску методов решения практических задач;

4) формирование умения использовать средства информационных и коммуникационных технологий в решении задач;

5)формировать умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения.

Воспитательная:

1)Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью.

2) формирование представления о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;

3)Формировать навыки общения, диалога, умение работать в коллективе, воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.

4) формирование основ саморазвития, самовоспитания, готовности и способности к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;

5) формирование гибкости мышления, инициативы, активности.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, записи на доске, карточки-задания.

Использование элементов педагогических технологий:

1. сотрудничества;

2. здоровьесберегающих (чередование видов деятельности);

3. информационно-коммуникационных;

4. развивающих;

5. личностно-ориентированных.

Формирование компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, ценностно-смысловой, личного самосовершенствования.

Тип урока: урок освоения новых знаний.

Форма урока: комбинированный.

Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый

Содержание урока:

I.Организационный момент:

Проверка посещаемости.

Проверка работы дежурных.

Проверка готовности группы к уроку.

II. Повторение пройденного на прошлом уроке.

1)Вопрос: Какие функции называются рациональными, дробно-рациональными?

Ответ: Неравенство вида ) где – многочлен называется рациональным.

Неравенство вида , где – многочлены называется дробно-рациональным.

2)Вопрос: Что значит решит неравенство?

Ответ: Решить неравенство – значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется.

3)Вопрос: Какие неравенства называются равносильными?

Ответ: Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого.

4)Перечислите способы решения неравенств.

• Разложение на системы неравенств;

• Графический способ;

• Метод интервалов.

5)Решение квадратных неравенств графическим способом.

1. 3х² -7х -5

Найдем нули функции f (x) = 3х² -7х -5,

то есть решим уравнение 3х² -7х -5 =0

= (-7)² -4·3·(-5) = 49+60=109

,

Два корня, значит, парабола ветвями, направленными вверх, пересекает ось в двух точках.

+ + х

-

При пересечении параболы с осью четко виден промежуток, где функция принимает отрицательные значения. На остальных двух промежутках функция принимает положительные значения. Выписываем решение х (;)

Ответ: (;)

III. Объяснение нового материала.

1.Решить неравенство

Функция f(x) = непрерывна в каждой точке своей области определения ( это дробно-рациональная функция) и обращается в ноль в точках 1 и 2. Область определения - вся числовая ось, за исключением нулей знаменателя, то есть точек х = - 4 и х = -3.Эти точки и точки х = 1 и х = 2 разбивают числовую ось на пять промежутков. В каждом из этих промежутков функция непрерывна и не обращается в ноль. Проверим знаки функции в каждом из промежутков, вычислив значение функции во внутренних точках каждого интервала.

f(-5) = =

f(-3,5) = =

f(0) = =

f(1,5) = =

f(3) = =

• + - + - х

-4 -3 1 2

Неравенство нестрогое , поэтому точки 1 и 2 являются решением неравенства. Решением неравенства являются промежутки, где функция f принимает положительные значения либо 0.

Ответ: (-4;-3).

2.Решить неравенство (1)

Неравенство (1) строгое, можно заменить его равносильным неравенством (2)

(х-1) (2)

Найдем все точки, делящие числовую ось на промежутки. Это

точки 1, 3, -5, 4.

х

-5 1 3 4

Выражения ( принимают положительные значения при любом х, и не влияют на знак (2). Следовательно, неравенство (2) можно заменить равносильным (3)

(х-1) (3).

Проверим знаки неравенства в каждом из промежутков, вычислив значения во внутренних точках интервалов.

f(-6) = (-6-1)

f(0) = (0-1)

f(2) = (2 -1)

f(3.5) = (3.5 -1)

f(5) = (5 -1)

- + - - + х

-5 1 3 4

Ответ:

IV.Закрепление нового материала: Продолжаем решать неравенства. К доске вызываются двое обучающихся. Преподаватель направляет их деятельность.

3.Решить неравенство: (2х-3) (1).

Найдем нули функции f (x) = (2х-3)

х

1- 0,5 1,5 1-

Для удобства определения знака значения функций в каждом из получившихся интервалов, воспользуемся теоремой Виета

f (x) = 2(х-1,5) или

f (x) = 2 (2)

Проверим знаки функции (2) в каждом из промежутков, вычислив значение функции во внутренних точках каждого интервала.

f (-2) = 2

f (0) = 2

f (1) = 2

f (2) = 2

f (3) = 2

Ответ: ( +

4.Решить неравенство (1)

для любых х и влияния на знак выражения не оказывает.

Найдем нули функции f (x) = - Для этого решим уравнение

-

,

Т.к. как D. Корней уравнения нет. Парабола f (x) = - не пересекает ось, ветви параболы направлены вниз.

х

Это значит - для любых х, то есть выражение

(- можно представлять как отрицательное число.

Неравенство (1) заменим равносильным неравенством (2).

или

(2)

Найдем все точки, делящие числовую ось на промежутки. Это

точки -2, -4, 3, 8.

-4 -2 3 8

Проверим знаки неравенства в каждом из промежутков, вычислив значения во внутренних точках интервалов.

f (-5) =

f (-3) =

f (0) =

f (4) =

f (9) =

- + + - +

-4 -2 3 8

Выпишем решение х (-4;-2)

Ответ: (-4;-2)

V. Подводятся итоги урока: 1)Выставление оценок.

2)Комментирование работы обучающихся.

3)Рефлексия в форме диалога:

Рефлексия

VI. Домашнее задание: Учебное пособие. Задачник. М.И. Башмаков Математика Алгебра и начала анализа, геометрия

Стр.290, № 12.8 А (1-5)

Приложение 1

Указать пары равносильных неравенств