Тема урока : « Решение логарифмических неравенств введением вспомогательной переменной» .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.
Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что
-
при основании, большем единицы (a1), логарифмическая функция возрастает (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, ).
-
при положительном основании, меньшем единицы(0a, логарифмическая функция убывает (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, ).
Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.
Теорема: Если f(x) 0 и g(x) 0, то:
при a 1 логарифмическое неравенство log a f(x) log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) g(x);
при 0 a a f(x) log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) g(x).
и
Решение простейших логарифмических неравенств мы рассматривали на прошлой лекции, сегодня еще один подход к решению логарифмических неравенств.
Некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной. Рассмотрим несколько примеров на применение данного метода:
Пример 1: Решить неравенство
Решение : ОДЗ: х0
Введем замену , тогда получим неравенство или
Сделаем обратную замену , т.к. основание логарифма 101
Ответ:
Пример 2: Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
К первому логарифму в левой части неравенства применим свойство логарифма степени:
С учетом ОДЗ, получим:
Введем замену , тогда получим неравенство или
Делаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются и получаем систему:
Пересечение с ОДЗ дает этот же промежуток.
Ответ:
Пример 3: Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Введем замену , тогда неравенство примет вид:
Перенесем все влево и сведем к общему знаменателю:
Получим
Делаем обратную замену и возвращаемся к первоначальной переменной :
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются и получаем:
Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем: .
Ответ:
Пример 4: Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3
Введем замену , тогда неравенство примет вид:
при любом значении t, так как дискриминант квадратного трехчлена .
Следовательно
Перейдем к х, для этого делаем обратную замену: Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются. Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток: .
Ответ:
Пример 5: Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя формулы замены основания, приведем все логарифмы в рассматриваемом неравенстве к логарифмам по основанию 2:
Распишем полученные логарифмы, используя свойство суммы логарифмов:
В ведем замену , тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются:
То есть С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Пример 6: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
Используя формулы замены основания, приведем все логарифмы в рассматриваемом неравенстве к логарифмам по основанию 3:
В ведем замену , тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену:
Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются: С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Пример 7: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
В ведем замену , тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену: Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются:
С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ:
Пример 8: Решите неравенство
Решение:
ОДЗ:
В ведем замену , тогда неравенство примет вид:
Имеем Сделаем обратную замену: Так как основание логарифмов больше 1, то знаки неравенств сохраняются: С учетом ОДЗ, окончательно имеем:
Ответ: