Решение иррациональных уравнений

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общие понятия

• Определение - Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала), называются иррациональными .
• Например, уравнения:

являются иррациональными.

• Для решения иррационального уравнения необходимо «избавиться от радикалов». Для этого нужно обе части уравнения возвести в такую степень, каков показатель корня. Но если при возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получается уравнение, равносильное данному, то при возведении в чётную степень может получиться уравнение , не равносильное данному. В этом случае нужно указывать область допустимых значений.

ПРИМЕР 1.

• Решим уравнение :

• Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим откуда следует, что т.е . или
• Проверим, являются ли полученные числа корнями данного уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получается верные равенства

и Следовательно, и - решения данного уравнения.

О т в е т:

ПРИМЕР 2.

• Решим уравнение
• Возведя в квадрат обе части уравнения в квадрат, получим или корни которого

и

• Проверим, являются ли найденные числа корнями данного уравнения. При подстановке в него числа получаем верное равенство т.е. - решение данного уравнения. При подстановке числа 1 получаем неверное равенство Говорят, что это посторонний корень , полученный в результате принятого способа решения.

• О т в е т:

ПРИМЕР 3.

• Решим уравнение
• Р е ш е н и е.

ОДЗ :

• Данное уравнение корней не имеет, так как найденное значение не удовлетворяет ОДЗ.

• О т в е т: корней нет.

УПРАЖНЕНИЯ

• 1. Решите уравнения:

• 2. Решите уравнения:

• 3. Решите систему уравнений:

• 4. Решите уравнения:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

• 5. Решите уравнения:

• 6. Решите уравнения:

• 7. Решите систему уравнений:

• 8. Решите уравнения:

• 9. Решите уравнение:

• 10. Решите систему уравнений:

• 2. 7. Решите уравнение:

• 11. Решите неравенство:

12. Решите неравенство:

• Выполнила: преподаватель математики

ГБПОУ ВО «Воронежский техникум строительных технологий»

Сафонова Елена Артуровна