Геометрическое определение модуля.
Модулем действительного числа а называется расстояние от начала координат до соответствующей числу а точки на числовой оси.
Решите уравнения:
1) |3х-5|=-4
Решение:
корней нет.
Ответ: корней нет.
2) |3х-5|=0
Решение:
3х-5=0
3х=5
х=5/3
Ответ: 5/3.
МБОУ СОШ №7 пос. Каменномостский республика Адыгея
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Учитель математики Лукьянченко Людмила Рудольфовна.
Геометрическое определение модуля.
Модулем действительного числа а называется расстояние от начала координат до соответствующей числу а точки на числовой оси .
-а о а
|а| |а|
0 , то два корня |х|=5 х=-5 v х=5 Ответ: -5; 5. если а=0 , то один корень |х|=0 х=0 Ответ: х=0. " width="640"
|х|=а
если а , то
корней нет
|х|= -5
корней нет
Ответ:
корней нет.
если а0 , то
два корня
|х|=5
х=-5 v х=5
Ответ:
-5; 5.
если а=0 , то
один корень
|х|=0
х=0
Ответ:
х=0.
Решите уравнения:
1) |3х-5|=-4
Решение:
корней нет.
Ответ: корней нет.
2) |3х-5|=0
Решение:
3х-5=0
3х=5
х=5/3
Ответ: 5/3.
3) |3х-5|= 8
Решение:
3х-5=8 v
3х=8+5
3х=13
х=13/3
х=4⅓
Ответ: -1; 4¹/₃.
3х-5=-8
3х=-8-5
3х=-3
х=-3:3
х=-1
4) |х 2 -5х|=6
Решение:
х²-5х=6 v
х²-5х-6=0
По т.Виета
х=-1 v х=6
Ответ: -1; 2; 3; 6.
х²-5х=-6
х²-5х+6=0
По т.Виета
х=2 v х=3
5) х 2 -6|х|+5=0
Решение:
Т.к. по свойству модуля х 2 =|х 2 |, то
|х| 2 -6|Х 2 |+5=0
Замена t=|х|
t 2 -6t+5=0
По т.Виета
t=5 v t=1
ПОЗ |х|=5 v|х|=1
х=5 v х=-5 х=1 v х=-1
Ответ: -5; -1; 1; 5.
6) ||х-1|+3|=3
Решение:
Раскроем внешний модуль
|х-1|+3=3 v
|х-1|=3-3
|х-1|=0
х-1=0
х=1
Ответ: 1.
|х-1|+3=-3
|х-1|=-3-3
|х-1|=-6
корней нет
Алгебраическое определение модуля.
Уравнения, содержащие cумму или разность нескольких модулей удобнее решать, используя алгебраическое определение модуля.
а, если а≥0,
-а, если а
|а|=
Алгоритм решения.
( универсальный способ для решения любого уравнения, содержащего модуль).
1) Найти числа, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.
2) Разбить числовую ось данными числами на промежутки.
3) В каждом из полученных промежутков определить знаки выражений, стоящих под знаком модуля.
4) Раскрыть знаки модуля на каждом из промежутков по алгебраическому определению и решить полученные уравнения.
5) Проверить, принадлежит ли полученный корень данному промежутку.
6) Записать в ответ те корни, которые удовлетворяют п.5.
Решить уравнение:
|5-3х|-|3-4х|=6-4х
5-3х=0
-3х=-5
х=1²/₃
|5-3х| + + -
|3-4х | + - -
1) если х то, (5-3х)-(3-4х)= 6-4х
5-3х-3+4х= 6-4х
2+х=6-4х
х+4х=6-2
5х=4
х= ⅘
3-4х=0
-4х=-3
х= ¾
¾
1²/₃
х
(-∞;¾)
2) если ¾≤ х , то (5-3х)+(3-4х)= 6-4х
5-3х+3-4х=6-4х
8-7х=6-4х
-7х+4х=6-8
-3х=-2
х=⅔
3) если х≥1²/₃ , то -(5-3х)+(3-4х)=6-4х
-5+3х+3-4х=6-4х
-2-х=6-4х
-х+4х=6+2
3х=8
х=⁸/₃
х=2²/₃ Є [1²/₃; +∞)
Ответ: 2²/₃.
[¾1²/₃)
Решить уравнение:
|х²-1|+х=5
Решение:
х²-1=0
х²=1
х²=1 v х=-1
+ - +
-1 1
1) Если х , то х²-1+х=5
х²+х-6=0
по т. Виета х₁=-3 Є (-∞; -1)
х₂=2
х
(-∞; -1)
2) если -1≤ х , то -(х²-1)+х=5
-х²+1+х-5=0
-х²+х-4=0
х²-х+4=0
D=b²-4ac=(-1)²-4·1·4=1-16 =-15
3) если х≥1 , то х²-1+х=5
х²+х-6=0
по т. Виета х₁=-3
х₂=2 Є [1; +∞)
Ответ: -3; 2.
[1; +∞)
Решить уравнение:
|х-2|+|4-х|=2
Решение:
х-2=0
х=2
|х-2| - + +
|4-х| + + -
1) если х , то -(х-2)+(4-х)=2
-х+2+4-х=2
-2х=-4
х=2
2) если 2≤ х , то (х-2)+(4-х)=2
х-2+4-х=2
0х=0
х- любое число из [2; 4)
4-х=0
х=4
х
2
4
(-∞; 2)
![3) если х≥4 , то (х-2)-(4-х)=2 х-2-4+х=2 2х=8 х=4 Є [4; +∞) Объединив решения, запишем ответ Ответ: [2; 4].](https://fsd.videouroki.net/html/2013/12/15/98671109/img16.jpg)
3) если х≥4 , то (х-2)-(4-х)=2
х-2-4+х=2
2х=8
х=4 Є [4; +∞)
Объединив решения, запишем ответ
Ответ: [2; 4].
Задания для самостоятельного решения:
1) Решите простейшие уравнения:
1) |х|=3; 2) |3х+1|=9;
3) |х-5|=3; 4) |х=5|=-3.
2) Решите уравнения сведением к простейшему:
1) |х+4|=2х; 2) |3х+1|+х=9;
3) 9х²-18|х|+5=0; 4) |8+|х-2||=7.
3) Решите уравнения методом интервалов:
1) |х-3|+2|х+1|=4; 2) |5-х|+|х-1|=10;
3) |5-2х|+|х+3|=2-3х; 4) 5/(3-|х-1|)=|х|+2.
Используемая литература:
1) Гайдуков И.И «Абсолютная величина.»-М.: Просвещение , 1964г.
2) Голубев В.И. Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина»-М.: Чистые пруды, 2006г.
3) Егерев В.К., Кордемский Б.А., Зайцев В.В. и др. «Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы» /Под редакцией Сканави.- М.: высшая школа, 1988г.
4) Смоляков А., «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля» (Математика, №18, 2005г., с. 61-64.)
-80%
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (0.23 MB)
0
1360
89
Нравится
0
Получите свидетельство
Вход
