Рациональные уравнения

Старинные задачи - это экскурс в историю математики, возможность решения задач из прошлого в 21 веке. Можно использовать на уроках или посвятить этим задачам отдельный урок.

Задачи для разминки.

№ 1. Задача Л.Н.Толстого.

Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоящую 10 рублей, и дал хозяину денежный билет в 25 рублей. У хозяина не было сдачи, и он разменял у соседа и отдал 15 рублей. Когда покупатель ушел, пришел сосед и сказал, что 25-рублевый билет оказался фальшивым, и потребовал 25 рублей обратно. Спрашивается, сколько рублей убытка понес при этой операции хозяин.

№ 2.

 У одного старика спросили , сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

Основная часть.

№ 3. Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же  тоя высота 117 стоп. И обрете  он лестницу долготою 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

№ 4. Из старинного руководства (1200г.).

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота одной из них – 50 локтей, высота другой – 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин обеих башен. Спрашивается, как далеко находится колодец от основания каждой башни.

№ 5. Индусская задача из Бхасхары (1114г.)

Цветок лотоса возвышается над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрывается под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?

№ 6. Индусская задача из Бхасхары (1114 г.)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

№ 7. Эту задачу предложили в 1834 году Ване Петрову в Костромской гимназии, учителя которой решили проверить слух о необыкновенных способностях Вани. Ему предложили 12 задач, на решение которых у него ушло 1ч 17 мин, причем значительна я часть времени была использована для чтения и повторения задач, так как он не только не умел читать, но и писать. Ваня решал каждую задачу единственно силою соображения и памяти. Эту задачу Ваня решил подбором, удерживая в памяти все числа. Московский профессор Д.М. Перевощиков никак не ожидал, что мальчик решит задачу, которую мы бы решили способом составления квадратного уравнения:

За 500 рублей куплено несколько пудов сахара. Если бы на те же деньги купили на 5 пудов больше, то каждый пуд обошелся бы на 5 рублей дешевле. Сколько куплено сахару?

№ 8. Задача Маклорена (18 век).

Несколько человек обедали вместе и по счету должны уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

Домашнее задание.

№ 1. Эта задача бала предложена Ване Петрову в 1834 году в Костромской гимназии, где решили проверить слухи о необыкновенных способностях неграмотного деревенского мальчика: «Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?»

№ 2. «Как разделить орехи?» (Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого)

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в  3 раза». Как же разделить орехи?

№ 3. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене крестьянин продавал десяток яиц.

№ 4. Задача древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау (1250 лет до н.э.)

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии ствола. На какой высоте переломлен ствол?

№ 5. Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.

Решение старинных задач

Открытый урок в 8 классе.

«Рациональные уравнения»

Задачи для разминки.

№ 1. Задача Л.Н.Толстого.

Некто пришел в магазин и купил шляпу, стоящую 10 рублей, и дал хозяину денежный билет в 25 рублей. У хозяина не было сдачи, и он разменял у соседа и отдал 15 рублей. Когда покупатель ушел, пришел сосед и сказал, что 25-рублевый билет оказался фальшивым, и потребовал 25 рублей обратно. Спрашивается, сколько рублей убытка понес при этой операции хозяин.

№ 2.

У одного старика спросили , сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

Основная часть.

№ 3. Из «Арифметики» Магницкого (1703 г.).

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота 117 стоп. И обрете он лестницу долготою 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

№ 4. Из старинного руководства (1200г.).

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота одной из них – 50 локтей, высота другой – 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин обеих башен. Спрашивается, как далеко находится колодец от основания каждой башни.

№ 5. Индусская задача из Бхасхары (1114г.)

Цветок лотоса возвышается над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрывается под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?

№ 6. Индусская задача из Бхасхары (1114 г.)

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

№ 7. Эту задачу предложили в 1834 году Ване Петрову в Костромской гимназии, учителя которой решили проверить слух о необыкновенных способностях Вани. Ему предложили 12 задач, на решение которых у него ушло 1ч 17 мин, причем значительна я часть времени была использована для чтения и повторения задач, так как он не только не умел читать, но и писать. Ваня решал каждую задачу единственно силою соображения и памяти. Эту задачу Ваня решил подбором, удерживая в памяти все числа. Московский профессор Д.М. Перевощиков никак не ожидал, что мальчик решит задачу, которую мы бы решили способом составления квадратного уравнения:

За 500 рублей куплено несколько пудов сахара. Если бы на те же деньги купили на 5 пудов больше, то каждый пуд обошелся бы на 5 рублей дешевле. Сколько куплено сахару?

№ 8. Задача Маклорена (18 век).

Несколько человек обедали вместе и по счету должны уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

Домашнее задание.

№ 1. Эта задача бала предложена Ване Петрову в 1834 году в Костромской гимназии, где решили проверить слухи о необыкновенных способностях неграмотного деревенского мальчика: «Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?»

№ 2. «Как разделить орехи?» (Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого)

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как же разделить орехи?

№ 3. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене крестьянин продавал десяток яиц.

№ 4. Задача древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау (1250 лет до н.э.)

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии ствола. На какой высоте переломлен ствол?

№ 5. Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.