Рабочая тетрадь по математике

Рабочая тетрадь

по математике

Тема: Производная

Содержание

1. Определение производной

2. Основные правила дифференцирования

3. Упражнения на закрепление изученных понятий

4. Производные тригонометрических функций

5. Проверочная работа

6. Геометрический смысл производной

7. Физический смысл производной

8. Производная сложной функции

9. Письменная работа

Производная

Основные правила дифференцирования

1. a′=0

2. x′=1

3. (ax)′=a

4. (xⁿ)′=nxⁿˉ¹

5. (u+v)′=u′+v′

6. (uv)′=u′v+uv′

7. (u/v)′=(u′v-v′u)/v²

1. a′=0. Производная от числа равна нулю.

7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0

4′ =_____; (-15)′ =______; (7,81)′ = ______;

(√2)′=_______ (5/7)′ =______.

2. x′=1. Производная от любой переменной равна

единице.

у′ =________________; в′=_____________

3. (ax)′=a. Постоянный множитель можно выносить

за знак производной.

(13х)′=13; (¶х)′= ¶; (-¼х) ′ = -¼; (√2х)′ = √2

(101х)′ = __________

(-56х)′ = __________

(⅞х) ′ = __________

(√8х) ′ = _________

4. (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹

(х⁶)′=6х⁵; (3х⁴)′ = 3·4х³ = 12х³;

(-¼х⁴)′ =-¼·4 х³=- х³

(Х²¹)' = _______________

(10х⁴)' = _______________

(-⅓х³)' = _______________

(Х^1/2)' = _______________

5. (u+v)′=u′+v′

(3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

(5х²+8х-10)'=(5х²)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

(х⁴-х⁹)'= (х⁴)' – (х⁹)'= 4х³ – 9х⁸

(3х² – 6х)' = _______________________________________________________

(х³+ 4х¹⁰⁰-1)' = _____________________________________________________

(3х⁴-7х³+2х²+¶)'=___________________________________________________

6. (u·v)′=u′·v+u·v′

1. (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

2. ((х²-х)(5х-8))'= (х²-х)'·(5х-8) + (х²-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х²-х)5= 10х²-21х+8+5х²-5х= 15х²-26х+8

((х+5)(х+7))'=___________________________________________________________

_______________________________________________________________________

((х²-2)(х⁷+4))'=__________________________________________________________

_______________________________________________________________________

7. (u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

(х²/(х+3))'= ((х²)'·(х+3) - х²·(х+3)')/(х+3)²=

=(2х(х+3)-х²)/(х+3)²=(2х²+6х-х²) /(х+3)²=(х²+6х) /(х+3)²

((3х)/(2х-1))'=__________________________________________________________

______________________________________________________________________

((6х-9)/(-11х+7))'= ______________________________________________________

_______________________________________________________________________

Проверь себя

Производные тригонометрических

функций

• (sinx)′=cosx

• (cosx)′=-sinx

• (tgx)′=1/cos²x

• (ctgx)′=-1/sin²x

(2sinx)′=2cosx; (x+2cosx)′=1-2sinx;

(1/2tgx)′=1/2cos²x; (сosx-tgx)′=-sinx-1/cos²x

(2tgx-sinx)′=2/cos²x-cosx

(tgx+11) '= _____________________________________________________________

(cosx- sinx) '=___________________________________________________________

(5sinx+2х) '= ___________________________________________________________

(Ctgx+2х³) '= ___________________________________________________________

(2sinx+ cosx-3)'= ________________________________________________________

(tgx +3 cosx)'= __________________________________________________________

(-sinx+х³) '= ____________________________________________________________

(2cosx-5х⁴+2х+1) '= ______________________________________________________

Установи соответствие

(2sinx+3)'

(4 cosx+х²)'

(tgx+7)'

(ctgx+3х²+8)'

(7 sinx-1/7)'

(tgx+ 2sinx)'

((tgx)/3)'

(√3 cosx-х⁵+0,3х)'

(3 cosx+15х)'

(sinx/ cosx)'

-√3 sinx-5х⁴+0,3

1⁄3 cos ²x

-3 sinx+15

-1⁄sin ²x +6х

1⁄ 2sinx ²x +6

-4 sinx+2х

1⁄cos ²x

3cosx

2⁄ cos ²x +6

7 cosx

1 ⁄ cos ²x+2 cosx

15+ cosx

Производная в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функций у=f(х) в этой точке.

К = угловой коэффициент, равный тангенсу угла прямой с осью ОХ

К= f '(х₀)= tgα.

у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀) - уравнение касательной

1.Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой (х₀):

Решение: f(х) =х², х₀=-4

К= f '(х₀); f '(х)=2х; f '(х₀)= f '(-4)=2·(-4)=-8, т.е. к=-8

1. f(х)=1⁄х, в х₀=- 1⁄3 ______________________________________________

________________________________________________________________

1. f(х)= sinx, в х₀ = ¶⁄3_____________________________________________

______________________________________________________________

1. f(х)= 3х³ – 2х +1, в х₀₌1__________________________________________

________________________________________________________________

2. Найдем тангенс угла касательной к кривой у=1⁄2 х² с осью Ох, в точке х₀=1.

Решение: tgα=у'(х₀); у'(х)=( 1⁄2 х²)'=х; у'(х₀)= у'(1)=1, т.е. tgα=1; α=¶⁄4

1. у= х² при х₀=√3⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. f(х)=1⁄3 х³, х₀=1 ________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Найдем уравнение касательной к графику функции у=1⁄3 х²-2в точке с абсциссой х₀₌3.

Решение: Находим уравнение касательной у=у(х₀)+у'(х₀)(х-х₀)

у(х₀)=у(3)= 1⁄3 ·3²-2=1; у'(х)= (1⁄3 х²-2)'=2⁄3 х; у'(х₀)= у'(3)= 2⁄3 ·3= 2

у=1+2(х-3)=1+2х-6=2х-5; т.е. у=2х-5 – уравнение касательной

1. f(х)=3х²-5х+4, в х₀=1____________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

1. у=1⁄2 х²+1, в х₀=2_______________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ф

Если точка движется вдоль оси Ох и ее координата изменяется по закону х(t), то мгновенная скорость точки V(t)=х'(t)

V=S' (t), а ускорение а (t)= V' (t)=х'' (t)= S'' (t)

Тело движется по закону S (t)=3t²-5t+8. Найдем скорость и ускорение движения тела и вычислить их значения при t=1.

Решение: V (t)= S' (t)= 6 t-5; V (1)=6·1-5=1

а= V'(t)=( 6 t-5)'=6

Ответ: V=1, а=6

1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= t²+2 в момент времени t=5: _____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

1. Определить скорость и ускорение тела, движущегося по закону S(t)= 0,5t³+2t²-7t+11 в момент времени t=2:

______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке х, а функция g имеет производную в точке у=f(х), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке х:

h′(x)=g′(f(x))·f′(x)

Найдем производную сложной функции:

1.((2х+3)¹°°)′=2·100(2х+3)⁹⁹=200(2х+3)⁹⁹

2.(√3х²+1)′=(1/2·(3х²+1))·(3х²+1)′=6х/(2·√3х²+1)=3х/√3х²+1

1. у =(4х-9)⁷ _________________________________________________________

_______________________________________________________________________

1. у = (х⁄3 +2)¹²_______________________________________________________

_______________________________________________________________________

1. у = (7-24х)¹⁰ _______________________________________________________

_______________________________________________________________________

1. у = cosx(5х-9)_______________________________________________

_______________________________________________________________________

1. у= sinx(7-2х) ______________________________________________

_______________________________________________________________________

Сделай сам

1.Производная функции у=f(х) в точке х₀ называется предел _________________

__________________, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.Функцию, имеющую производную в точке х₀ называют____________________

_________________ в этой точке.

3.Найти производные функций:

3.1 у=х³+√2____________________________________________________________

3.2 у=3х⁴-7х³-х+¶_______________________________________________________

3.3 у=7х³-5х___________________________________________________________

3.4 у=х-х³+7___________________________________________________________

3.5 у=(5х-2)·(4х-1)______________________________________________________

______________________________________________________________________

3.6 у=(5х+2)⁄(4х-1)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.7 у=(7х+5)·(8х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.8 у=(3х²-8)/(2х-4)_____________________________________________________

______________________________________________________________________

3.9 у=3cosх____________________________________________________________

3.10 у=sin2х___________________________________________________________

3.11 у=1/2 sinх-х⁵_______________________________________________________

3.12 у=5tgх____________________________________________________________

3.13 у= tg3х____________________________________________________________

3.14 у=3cosх+2_________________________________________________________

______________________________________________________________________

3.15 у=2х⁵-3cosх________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4. Найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀:

4.1 у=7х³-21х²+18, при х₀=1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.2 у=х³-2х²+3х-6, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

4.3 у=sinx+cosx, при х₀=¶⁄2________________________________________________

_______________________________________________________________________

4.4 у=х²⁄2+х, при х₀=1____________________________________________________

_________________________________________

5.Пусть S, пройденный телом за время t, выражается формулой. Определить скорость тела V. Вычислить значение скорости при определенном значении t.

5.1 S(t)=2х³-5х²+11х-3, при t=2___________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

5.2 S(t)=5,5t²-8t+11, при t=2_______________________________________________

_______________________________________________________________________

5.3 S(t)=t²+2, при t=10___________________________________________________

_______________________________________________________________________

6. Найти угол, образованный касательной к графику функции в точке х₀:

6.1 у=х⁶-4х, при х₀=1_____________________________________________________

_______________________________________________________________________

6.2 f(х)= -х⁵-2х²+2, при х₀=-1______________________________________________

_______________________________________________________________________

6.3 f(х)=10-cosх, при х₀=3¶⁄2_______________________________________________

6.4 f(х)=2tgх, при х₀=¶⁄4___________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀:

7.1 у=-1⁄3 х²+4, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.2 у=1⁄6 х²+х-3, при х₀=3_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.3 у=х³-6х²+5, при х₀=1_________________________________________________

_______________________________________________________________________

7.4 у=х-х²+3, при х₀=2___________________________________________________

_______________________________________________________________________

Критерий оценки: «3» - выполнить 16заданий

«4» - выполнить 24 задания

«5» - выполнить более 24 заданий

22