Получите свидетельство
Вход
Производная и её применение
Методическая разработка открытого урока
по учебной дисциплине «Математика»
для преподавателей математики и естествознания
Разработчик: Лунев Эдуард Юрьевич,
преподаватель высшей квалификационной категории
Пояснительная записка
Данная работа представляет собой разработку одного урока, завершающего изучение темы «Производная и её применение». Данный урок направлен на решение следующих задач:
а) повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков обучающихся;
б) формированию представления о роли производной в других науках;
в) контроль и коррекцию знаний обучающихся по изучаемой теме.
Материалы урока рассчитаны на обучающихся 1курса. В разработке применяется система рейтинговой оценки знаний и умений учащихся, хотя возможно применение и классической пятибалльной системы. В любом случае желательно предварительно ознакомить студентов со всеми требованиями урока и критериями оценок за разные виды работ.
К разработке прилагается компьютерная презентация, которая сопутствует всем этапам, предусмотренным планом занятия. Использование слайдов помогает обеспечить урок качественными, быстро сменяющимися наглядными иллюстрациями, графиками, таблицами.
Особенно оправдано применение презентации во время фронтального опроса («Задачи в картинках»), организация которого без использования компьютера достаточно проблематична и затратна. В нашем случае опрос удается провести за считанные минуты, с использованием ярких графиков и чёткого текста, причём обучающиеся имеют возможность сразу же узнать, каков правильный ответ, обсудить ошибки, подсчитать набранные баллы. Это делает систему оценок открытой, понятной для всех обучающихся.
Использование презентации удобно также и при выполнении графических работ, а если в классе есть интерактивная доска, то построение графиков можно выполнять прямо на слайдах.
Материалы урока содержат задания самого разного содержания и уровня сложности – от самых простых до творческих. Для тех, кто опережает класс, предусмотрены дополнительные разноуровневые задачи.
В презентации предусмотрены ответы ко всем заданиям и тестам, как устным, так и письменным. Так что в конце занятия каждый из учащихся будет реально представлять, насколько успешной была его деятельность на уроке, и на какую оценку он может рассчитывать.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Тема урока: Производная и её применение
Цели урока
деятельностная: развитие поисковой деятельности с привлечением различных источников;
содержательная: формирование представления о роли производной в других науках;
методическая: использование современных педагогических технологий (технология кооперативного обучения, технология проблемного обучения) для создания условий, позволяющих каждому обучающемуся раскрыть свой творческий потенциал, пробуждая в них познавательную активность, проявлять инициативу и самостоятельность.
Задачи урока
учебно-практические:
совершенствовать умения и навыки самостоятельно получать новые знания по источникам; систематизировать информацию и обобщать ее, работать в группах;
подвести обучающихся к пониманию того, что знание понятия производной необходимо человечеству в их жизни;
совершенствовать умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения;
учебно-познавательные:
создавать условия для развития положительной мотивации к учению, стимулировать развитие творческих возможностей обучающихся;
развивать способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности; формирование основных умений работать с информацией, выполнять логические операции самостоятельно
воспитательные:
обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;
способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;
осознание большой практической значимости производной в жизни человека.
Тип урока: урок открытия нового знания.
Вид урока: урок-устный журнал (презентация результатов поисковой деятельности и их обсуждение в диалоговом формате)
Образовательные технологии:
а) технологии обучения:
технология кооперативного обучения;
технология развивающего обучения;
информационно-коммуникационные технологии;
б) технологии в обучении
использование технических средств обучения.
Организационные формы: индивидуальная, групповая (работа в группе) по два человека), коллективная (фронтальная).
Методы обучения:
словесные: беседа;
наглядные :компьютерная мультимедийная презентация;
интерактивные: интерактивный диалог;
практические: исследовательский, поисковый, организация применения знания производной при решении физических, математических и химических задач;
методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль, взаимоконтроль.
Планируемые результаты:
а) предметные:
осмысление истории появления производной в нашей жизни;
осмысление роли производной в жизни человека.
б) метапредметные:
регулятивные:
умение ставить перед собой цель, управлять своей деятельностью,видеть ожидаемый результат работы;
умение рационально распределять рабочее время, проявлять инициативность и самостоятельность
умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия и знания;
познавательные:
самостоятельное выделение, формулирование познавательной цели;
поиск и отбор необходимой информации, умение работать с информацией, применение методов информационного поиска;
выполнять логические операции, самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель задания;
структурирование знаний;
осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
- коммуникативные:
планирование учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками;
определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
формирование речевой деятельности, навыков сотрудничества, умение находить общее решение, умение аргументировать своё предложение, взаимоконтроль и взаимопомощь по ходу выполнения задания.
в) личностные:
осознание социальной, практической и личностной значимости учебного материала;
формирование способности к самоопределению.
Средства обучения:
технические:
Компьютер (экран), телевизор.
информационно-коммуникационные:
компьютерные мультимедийные презентации к уроку:
общая презентация – готовит преподаватель совместно с обучающимися;
презентации к полученным заданиям – готовят авторы сообщений.
Источники информации:
Нормативный документ Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.
Образовательные ресурсы:
Основная литература
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебн. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н.Колмогорова. – 15-е изд. – М.; Просвещение, 2006. -384 с.
ЕГЭ 2008. Математика. Тематические тренировочные задания / В.В.Корчагин. -М.; ЭКСМО, 2008. –136 с.
ЕГЭ. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ: учебно-методическое пособие / Л.Д.Лаппо. – М.: “Экзамен”, 2009. – 79 с.
Дополнительная литература:
Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.. Москва. «Просвещение». 2007.
ЕГЭ 2007. Математика. Типовые тестовые задания.
Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. Выпускной, вступительный, ЕГЭ на +5. М. «ВАКО».2006.
Интернет-ресурсы
http://accoona.ru/refera t/ref22360.html
http://www.college.ru /mathematics/index.php
http://do.rksi.ru /library /courses /matec /tema 2 4.dbk.
Структура и регламент
| Наименования этапов занятия | Ключевые учебно-познавательные, учебно-практические задачи, решаемые на данном этапе | Виды деятельности обучающихся | Виды деятельности преподавателя | Средства контроля достижения планируемых результатов | Формируемые УУД | Регламент | |
| 1.Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности | Выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности к выполнению нормативных требований учебной деятельности. Создание деловой атмосферы, позитивного настроя на активную деятельность и мыслительную работу, включение в деловой ритм | Настраивают ся на продуктивную мыслительную деятельность
| Приветствует обучающихся. Отмечает отсутствующих. Представляет гостей. Настраивает обучающихся на продуктивную деятельность | диалог
| Личностные:стремление к целенаправленной позна-вательной деятельности; готовность к саморазвитию Познавательные:готовность к информационно-познавательной деятельности, детермированной личностным смыслом Регулятивные:саморегуляция; умение быстро включаться в деловой ритм, активную деятельность и мыслительную работу Коммуникативные:умение и готовность работать в коллективе | 2 мин.
| |
| 2.Этап Целеполагание.
| Активизация мыслительных операций и познавательных процессов (внимания, память и т.д.). Погружение в тему занятия, мотивированное пробуждение интереса к теме; сопряжение актуализации знаний с началом рефлексивной деятельности, планированием личностного смысла урока (самоопределение и смыслообразование), прогнозирование результатов; постановка целей урока | Пытаются определить и сформулировать тему и цель занятия по предложенной информации, размещенной на слайде электронной презентации | Корректирует и конкретизирует тему и цель занятия, организует деловое общение, способствующее актуализации опорных знаний и целеполагания | побуждающий диалог
| Личностные: выработка учебной мотивации; установления связи между целью учебной деятельности и ее мотивом; осознание личностного смысла урока Познавательные:соотнесение имеющихся исторических знаний с целью урока Регулятивные:целеполагание; планирование; прогнозирование Коммуникативные:умения и навыки обмениваться мыслями и суждениями в режиме диалога | 3мин
| |
| 3.Этап актуализации опорных знаний
| Активизация мыслительных операций и познавательных процессов (внимания, память и т.д.). Погружение в тему занятия, мотивированное пробуждение интереса к теме; актуализация опорных знаний, создание условий для дальнейшей познавательной деятельности; сопряжение актуализации знаний с началом рефлексивной деятельности, планированием личностного смысла | Устно отвечают на вопросы, спроектированные на экран; Находят производную степенной, тригонометрической и сложной функции
| Организует деловое общение, способствующее актуализации опорных знаний
| Фронтальный опрос
| Личностные: совершенствование имеющихся знаний и умений; осознание своих трудностей и стремление к их преодолению Познавательные: постановка учебной задачи; умение понимать и реагировать на информацию в словесной форме Регулятивные: контролировать процесс и результат деятельности Коммуникативные: умение вступать в диалог с преподавателем, участвовать в общей беседе, соблюдая правила речевого этикета, слушать и отвечать на вопросы других
| 5мин
| |
| 4.Этап Проверка домашнего задания
| Расширение представления обучающихся о зарождении производной; совершенствование умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения; развитие математически грамотной речи; создание условий для развития положительной мотивации к учению, развития творческих возможностей обучающихся; развитие способности к самостоятельной информационно-познавательной деятельности | Один из обучающихся выступает с заранее подготовленным сообщением и презентацией о зарождении производной. Все остальные внимательно слушают, дополняют и задают вопросы.
| Просит дополнить сообщение, задать вопросы, акцентирует внимание обучающихся на ключевых моментах сообщения и дополнения
| Презентация сообщения о зарождении производной; диалог
| Личностные: соотнесение предметного содержания учебного занятия с ценностно-смысловыми установками. Познавательные: самостоятельное и групповое изучение материала, анализ, обобщение; умение интерпретировать информацию, полученную из различных источников; умение использовать средства ИКТ. Регулятивные: умение самостоятельно осуществлять, контролировать и коррек-тировать деятельность; выбирать пути достижения поставленной цели. Коммуникативные: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения; строить монологические высказывания (создавать собственные тексты) | 3 мин
| |
| 5.Этап Контроль знаний
| Совершенствование умений и навыков самостоятельной деятельности, работы с компьютером; создание условий для применения полученных знаний при решении задач с использованием формул и правил дифференцирования, физического и геометрического смысла производной; содействие воспитанию положительного отношения к знаниям и процессу обучения, уверенности в своих силах | Индивидуально выполняют задания в виде теста за компьютером, который в конце выдаёт отметку | Контролирует работу обучающихся, в случае необходимости ликвидирует технические неполадки в программе, фиксирует результаты тестирования
| Тестирование в электронном виде.
| Личностные: соотнесение предметного содержания учебного занятия с ценностно-смысловыми установками. Познавательные: постановка учебной задачи; умение самостоятельно принимать решения, умение использовать средства ИКТ. Регулятивные: умение самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; выбирать пути достижения поставленной цели. Коммуникативные: умение аргументировать свое мнение и собственную позицию в коммуникации | 7 мин
| |
| 6.Этап Подготовка к формированию нового знания. | Расширение представления обучающихся о производной и учёном, который ввёл термин и обозначение производной ( с помощью штриха); совершенствование умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения; развитие математически грамотной речи; создание условий для развития положительной мотивации к учению, развития творческих возможностей обучающихся; развитие способности к самостоятельной информационно-познавательной деятельности | Разгадывают кроссворд, вспоминая некоторые математические термины; заслушивают небольшую историческую справку о Жозефе Луи Лагранже и его достижениях. | Просит ответить на вопросы, способствующие разгадыванию кроссворда, акцентирует внимание обучающихся на ключевом слове "Лагранж" и предлагает обучающимся заслушать небольшую историческую справку о Жозефе Луи Лагранже и его достижениях. | подводящий диалог
| Личностные: стремление к целенаправленной позна-вательной деятельности; готовность к саморазвитию Познавательные: постановка учебной задачи; самостоятельное и групповое изучение материала, анализ, обобщение; умение интерпретировать информацию, полученную из различных источников; умение использовать средства ИКТ. Регулятивные: планирование путей решения учебной задачи; прогнозирование (предвосхищение результата учебной деятельности на уроке) Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества на занятии | 7 мин
| |
| 7.Этап Формирование нового знания | Формирование учебной задачи; развитие навыков совместной поисковой деятельности с привлечением различных источников; развитие самостоятельности в планировании и осуществлении учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогом и сверстниками; развитие речевых умений и навыков | Трое обучающихся с помощью подготовленных презентаций знакомят остальных с применением производной в физике, химии и экономике. Все остальные записывают определение величин и законы в дифференциальной форме, решают практические задачи, предложенные ораторами. | Дополняет сообщения обучающихся, акцентирует их внимание на ключевых вопросах, даёт оценку выступлениям. Подводит итоги, анализирует содержание, форму выступления, отмечает положительное, указывает на недостатки и побуждает к поиску путей их преодоления | Презентация исследовательской работы обучающихся
| Личностные: соотнесение предметного содержания учебного занятия с ценностно-смысловыми установками. Познавательные: самостоятельное и групповое изучение материала, анализ, обобщение; умение интерпретировать информацию, полученную из различных источников; умение использовать средства ИКТ. Регулятивные: умение самостоятельно осуществлять, контролировать и коррек-тировать деятельность; выбирать пути достижения поставленной цели. Коммуникативные: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения; строить монологические высказывания использовать адекватные языковые средства; умение работать в команде; умения и навыки обмениваться мыслями, оценками, суждениями в режиме диалога; умение аргументировать свое мнение и собственную позицию в коммуникации решения | 14 мин
| |
| 8. Рефлексия Подведение итогов учебного занятия
| Развитие у обучающихся навыков познавательной рефлексии как осознания совершаемых ими действий и мыслительных процессов, результатов деятельности, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения; контроль и оценка процесса и результатов деятельности | Оценивают свою работу на занятии, осуществляют взаимооценку
| Оценивает работу обучающихся, организует диалоговое общение, сти-мулирующее рефлексивную деятельность, оценку и взаимооценку. Подводит итоги проделанной работы. Выставляет отметки обучающимся
| Беседа, взаимооценка, самооценка | Личностные: умение оценивать усваиваемое содержание урока, исходя из социальных и личностных ценностей. Познавательные:контроль и оценка процесса и результатов деятельности Регулятивные:выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения Коммуникативные:умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации | 3мин | |
| 9.Инструктирование о выполнении домашнего задания | Ознакомление с творческим домашним заданием, детализация информации по его выполнению
| Записывают домашнее задание | Инструктирует по выполнению домашнего задания |
| Личностные:осознание личностного смысла творческого домашнего задания Познавательные:самостоятельное решение проблем творческого и характера Регулятивные:саморегуляция Коммуникативные:планирование и осуществление учебного сотрудничества со сверстниками, определение способов взаимодействия (при выполнении домашнего задания) | 1 мин | |
СЦЕНАРНЫЙ ПЛАН УРОКА
I. Этап мотивации
Показатели выполнения психологической задачи этапа:
доброжелательный настрой педагога и обучающихся;
быстрое включение группы в деловой ритм;
организация внимания всех обучающихся;
кратковременность организационного момента;
полная готовность группы и оборудования к работе.
Урок по теме «Производная и её применение». Урок проводится после изучения физического смысла производной, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности как групповая, так и индивидуальная. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Часть урока отводится презентациям, выполненным самими обучающимися: «Применение физического смысла производной при решении физических задач», «Решение химических задач с помощью производной», «Решение задач с экономическим содержанием».
II. Этап целеполагание
Здравствуйте. Кто отсутствует на уроке? (Отмечаю отсутствующих).Откройте тетради и запишите сегодняшнее число. Прежде чем записать тему урока, прошу обратить внимание на экран. Перед вами стихотворение (зачитываю его).
В данной функции от «икс», нареченной «игреком» у=f(х)
Вы фиксируете «икс», отмечая индексом х0, у=f(х0)
Придаете вы ему тотчас приращение х0 +Δх
Тем у функции самой вызвав изменение Δу=f(х0 +Δх)-f(х0)
Приращений тех теперь взявши отношение 
Пробуждаете к нулю у Δх стремление Δx→0
Предел такого отношения вычисляется, у=
Он ____________в науке называется
Преподаватель: о чём идёт речь в этом стихотворении и какое слово пропущено?
Обучающийся: «производной».
Преподаватель: прошу обратить ваше внимание на высказывание Н.И.Лобачевского
«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
Н.И. Лобачевский
Как вы думаете о чём пойдёт речь на уроке?
Обучающийся: о производной и её применении к явлениям действительного мира.
Преподаватель: итак, записываем тему урока: «Производная и её применение».
Сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему.
Цель урока: повторить, обобщить и систематизировать знания по теме «Производная» и применить их при решении задач.
Эпиграфом к нашему уроку возьмём слова философа Конфуция
Эпиграф: Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Дай действовать самому,
И я научусь.
Конфуций
Преподаватель: эпиграф, как вы понимаете, подобран тоже не случайно. Вам предстоит самостоятельно, через свою исследовательскую работу, показать значимость понятия производной.
III. Этап актуализации опорных знаний
Чтоб урок шел без запинки,
Начнем его с легкой разминки.
Разминка ( вопросы проектируются на экран )
а) Что называется производной функции в точке х0?
Ответ: производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
б) В чем заключается геометрический смысл производной?
Ответ: геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
в) В чем заключается физический( механический) смысл производной?
Ответ: физический смысл производной состоит в том, что производная прямолинейного движения выражает мгновенную скорость в момент времени t.
г) Работаем устно: найти производные функций
IV. Этап проверки домашнего задания
Ребята на прошлом уроке домашним заданием было: самостоятельно поработать с дополнительной литературой, научной энциклопедией, воспользоваться услугами интернета и подготовить небольшое сообщение о зарождении производной. Со своим сообщением прошу выступить... (сообщение сопровождается презентацией).
Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов, он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей. Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему.
В 1638 году Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который также занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.
Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления, основоположниками которого считаются Вильям Лейбниц и Исаак Ньютон
Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления, такие как Жозеф Луи Лагранж, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс.
V. Этап. Контроль знаний
Преподаватель: Ребята, сейчас вам предстоит выполнить самостоятельную работу за компьютерами в виде теста. Прошу обратить ваше внимание на экран. Здесь вы видите критерии оценки данной работы (на экране появляется слайд с критериями оценки). На работу отводится 5 минут. В конце компьютер выдаст вам оценку .
Прошу обучающихся занять место за компьютерами и выполнить самостоятельную работу (тест) в 4вариантах.
Обучающиеся занимают места за компьютерами и начинают выполнять тест. В это время звучит лёгкая музыка ровно5минут, а на экране появляется выполнение теста одного из обучающихся.
Вариант 1
| 1. Найти производную функции f(x)=3х4 – 7х3 + х + π А) 12х4 - 21х3 + х + π В) 12х3 – 21х2 + π Б) 12х3 – 21х2 +1 Г) 9х3 – 14х2 + 1 | 1 А Б В Г
|
| 2. Найти производную функци f(x)=2 sin x - 3 cos x + 5 А) 2 cos x - 3 sin x В) 2 cos x + 3 sin x Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5 | 2 А Б В Г
|
| 3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с. А) 8 м/с В) 10 м/с Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с | 3
А Б В Г
|
| 4. Найти производную сложной функции f(x)= (3 – 2х)3 А) 3 (3 - 2х)2 В) 6 (3 – 2х)2 Б) -3 (3 – 2х)2 Г) -6 (3 –2х)2 | 4 А Б В Г
|
| 5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х3 – 2х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 1 А) 5 В) 9 Б) 7 Г) 11 | 5 А Б В Г
|
| 6. Найти вторую производную функции у = | 6
|
Вариант 2
| 1. Найти производную функции f(x)=2х4 – 7х3 + х + 6 А) 8х4 - 21х3 + х + 6 В) 8х3 – 21х2 + 6 Б) 8х3 – 21х2 +1 Г) 6х3 – 14х2 + 1 | 1 А Б В Г
|
| 2. Найти производную функции f(x)=2 sin x + 3 cos x + 4 А) 2 cos x + 3 sin x В) 2 cos x - 3 sin x Б) 2 cos x + 3 sin x +4 Г) cos x - sin x +4 | 2 А Б В Г
|
| 3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t= 2с. А) 25 м/с В) 20 м/с Б) 22 м/с Г) 18 м/с | 3
А Б В Г
|
| 4. Найти производную сложной функции f(x)= (4х – 9)7 А) 7 (4х - 9)6 В) -63 (4х - 9)6 Б) 6 (4х - 9)7 Г) 28 (4х - 9)6 | 4 А Б В Г
|
|
5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х2 – 2х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 1 А) 4 В) 2 Б) 1 Г) 5 | 5
А Б В Г
|
| 6. Найти вторую производную функции у= | 6 |
Вариант 3
| 1. Найти производную функции f(x)=3х4 – 6х3 + 2х + π А) 12х4 - 18х3 + 2х + π В) 12х3 – 18х2 + π Б) 12х3 – 18х2 +2 Г) 9х3 – 12х2 + 2 | 1 А Б В Г
|
| 2. Найти производную функции f(x)=+ х6 А) В) - Б) Г) - | 2 А Б В Г
|
| 3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= t5 – t4 + 6 (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=2с. А) 48 м/с В) 70 м/с Б) 54 м/с Г) 88 м/с | 3
А Б В Г
|
| 4. Найти производную сложной функции f(x)= (5 + 2х)3 А) 3 (5 + 2х)2 В) 6 (5 + 2х)2 Б) 3 (5 + 2х)3 Г) 15 (5 + 2х)2 | 4 А Б В Г
|
| 5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х2 – 5х + 1 в его точке с абсциссой х0 = 2 А) 3 В) 1 Б) 8 Г) 7 | 5 А Б В Г
|
| 6. Найти вторую производную функции у=
| 6
|
Вариант 4
| 1. Найти производную функции f(x)=3х5 – 7х2 + х + π А) 15х4 - 14х3 + х + π В) 15х3 – 14х2 + π Б) 15х3 – 14х2 +1 Г) 12х3 – 7х2 + 1 | 1 А Б В Г
|
| 2. Найти производную функции f(x)=2 sin x - 3 cos x + 5 А) 2 cos x - 3 sin x В) 2 cos x + 3 sin x Б) 2 cos x - 3 sin x +5 Г) cos x + sin x +5 | 2 А Б В Г
|
| 3. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t3 – 0,5t2 + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с. А) 8 м/с В) 10 м/с Б) 7 м/с Г) 4,5 м/с | 3 А Б В Г
|
| 4. Найти производную сложной функции f(x)= (3х – 7)5 А) 5 (3х - 7)4 В) -35 (3х – 7)4 Б) 15 (3х – 7)4 Г) 4 (3х –7)4 | 4 А Б В Г
|
| 5. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= 3х2 – 7х + 12 в его точке с абсциссой х0 = 1 А) 18 В) 11 Б) 23 Г) 8 | 5 А Б В Г
|
| 6. Найти вторую производную функции у= | 6
|
По окончании тестирования прошу консультантов выписать оценки ,выданные компьютером в заранее заготовленные бланки. После чего прошу обучающихся занять свои места и приступить к следующему этапу урока.
VI этап. Подготовка к формированию нового знания
Преподаватель: Ребята, прошу обратить ваше внимание на экран. Перед вами кроссворд, который нам предстоит разгадать и узнать имя учёного, который ввёл термин «производная». Тем самым вспомним некоторые математические термины.
КРОССВОРД
1.Угол её наклона выражает геометрический смысл производной.
2. Угловой коэффициент касательной –это … угла наклона касательной.
3.Приращение какой переменной обычно обозначают Δх?
4. Эта величина определяется как производная скорости по времени, т.е.𝑣'(t).
5.Единица измерения угла.
6.Как называется точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс?
7.Как называется функция от функции, т.е.f(g(x))?
| к | |||||||
| а | |||||||
| с |
| у | |||||
| а |
| с |
| с | |||
| т |
| а | к | г | м | л | |
| е | т | р | о | р | и | о | |
| л | а | г | р | а | н | ж | |
| ь | н | у | е | д | и | н | |
| н | г | м | н | у | м | а | |
| а | е | е | и | с | у | я | |
| я | н | н | е |
| м | ||
|
| с | т |
| ||||
Преподаватель: Молодцы, кроссворд вы разгадали. В выделенных клетках мы видим имя французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа. С именем этого ученого вы уже знакомы и сегодня ....... подготовил нам небольшую историческую справку об этом ученом. Давайте послушаем его выступление.
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
Жозеф Луи Лагранж являлся почетным членом Петербургской академии наук. Лагранж родился в 1736 году в Турине в итало-французской семье обедневшего чиновника. Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики Артиллерийской школы в Турине .Во время революции во Франции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.) а затем Политехнической школы (1797 г.). В этом же году Лагранж ввел термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввел Лагранж.
V II. Этап формирования нового знания
Преподаватель: На одном из первых уроков изучения производной я вам задала вопрос: «Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?»
Вы на него не смогли ответить, т.к. у вас не хватило соответствующих знаний. И тогда я вам предложила провести самостоятельное исследование по теме «Производная и её применение в различных областях науки» и подготовить презентацию.
А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу:«Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».
В ходе исследовательской работы вы должны были либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу.
Сегодня мы увидим, насколько успешно вы справились с задачей самостоятельного отбора и обработки информации. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы «Производная». Прошу со своим сообщением выступить.......
Применение производной в физике.
С помощью производной в физике находят:
Скорость материальной точки
υ(t) = s/(t)= ;
Мгновенную скорость как физический смысл производной
υ(t) = s/(t) ;
Мгновенное значение силы переменного тока
I (t) = q/(t)= ;
Максимальную мощность
N(t) = A/(t)=;
Скорость радиоактивного распада
𝑣=m'(t)=.
Задача №1
Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону s(t) = 3t 2 - 7t + 6. Найдите скорость точки в момент времени t = 6с.
Решение:
s(t) = 3t2 -7t + 6
Т.к. 𝑣 (t) = s′(t), то 𝑣 (t) = 6t-7.
𝑣 (6) = 36 - 7= 29(м/с)
Ответ: 29 м/с.
Задача №2
Найдите силу F , действующую на материальную точку массой m , движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3 - t2 (м) при t = 2 с .
Решение:
Т.к. 𝑣(t) = s′(t), то 𝑣(t) = 6t2 - 2t.
Т.к. a(t) = 𝑣′(t), то a(t) = 12t - 2,
a(2) = 24 - 2 = 22(м /c2)
Т.к. F = ma, то F = 22m(H).
Ответ: 22m H.
Производная в химии.
Как используют производную в химии?
Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности.
Определение: скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени.
Формула производной в химии: если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость (t) химической реакции в момент времени t равна производной, т.е. (t) = P'(t) =.
Задача №3
Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задаётся зависимостью р( t ) = + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3секунды.
Решение:
1) 𝑣 ( t ) = p`( t ) = t + 3,
2) 𝑣 (3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/с)
Ответ: 6 моль / с
Производная в экономике
Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа.
Производная решает важные вопросы:
В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?
Производная помогает рассчитать производительность труда как производную объёма продукции от времени, т.е. производительность труда
П (t) = V / (t) =, где V (t) - объем продукции;
Задача №4
Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону
V(t) = - t3+t2+50t+70.
Вычислите производительность труда П(t) через час после начала работы и за час до её окончания.
Решение: П(t)=V'(t)=- 2t2 +15 t+50
П(1)=- 2+15 +50=63(ед./ч)
П(7)=- 249 + 157 +50=- 98 +105 +50= 57(ед./ч)
Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.
Ответ:63ед./ч и 57ед./ч
Благодарю выступающих за интересное сообщение, сопровождающее красочной презентацией. Выставляю ему оценку и прошу присесть на место.
Обращаюсь к обучающимся с вопросом: «Ребята, что вы скажете о нашей гипотезе? Подтвердили мы ее или опровергли?»
Обучающиеся: Мы убедились в важности изучения темы «Производная». С помощью производной решаются задачи в физике, химии, в экономике. Производная используется там, где есть неравномерное протекание процесса.
Преподаватель: Сегодня на уроке мы пришли к выводу о том, что производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.
VIII этап. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия
Преподаватель: Ребята, благодаря вашей огромной подготовительной работе, проведен очень интересный урок (объявляю оценки и прошу обучающихся проанализировать свою деятельность на уроке).
Интересно узнать, как вы могли бы оценить нашу совместную работу. Предлагаю сделать это так: окончите одну из фраз, которую вы видите на экране.
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Было трудно…
Я выполнял задания…
Теперь я могу…
Я научился…
Я смог…
Мне захотелось…
IX этап. Инструктирование о выполнении домашнего задания
Составить кроссворд по теме «Производная»
Используя записи в тетради и учебник, повторить основные вопросы и формулы по данной теме
Решить задачи (задачи распечатываются на отдельных листах и раздаются каждому обучающемуся)
А) Тело удаляется от поверхности Земли в вертикальном направлении по закону h(t)= -3t2+ 14t +7 (t- время в секундах, h- расстояние от поверхности земли в метрах). Определите, в какой момент времени скорость тела будет 2 м/с.
Б) Движение тела по прямой задано законом s(t) = 3t4– 2t +13 (t – время в секундах, s- отклонение точки от начального положения в метрах). Найдите ускорение тела в момент времени t=2с.
В) Количество протекающего через проводник электричества задается формулой q(t) = 10-3sint, (t – время в секундах). Найдите силу тока в момент времени t=3с.
Производная и ее применение (142.69 KB)
0
155
3
Нравится
0
