Проект "Квадратные уравнения"

Жил математик один. Мог бы вельможей он стать. Но он науку любил, Что математикой звать .

Тема:

«Квадратные уравнения»

Ученики 8 класса:

Неверова Мария,

Редкозубова Анна

Учитель:

Четырина З.В.

Творческое название проекта

«Лабиринт

среди квадратных

уравнений»

Цель:

Три способа – это много или мало?

Задачи:

• изучить теорию квадратных уравнений;
• исследовать квадратные уравнения;
• практически рассмотреть способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза:

если в уравнении вида ах 2 +вх+с=0 коэффициенты а и в поменять местами, то корни уравнения останутся прежними .

Ход работы:

Историческая справка.

Неполные квадратные уравнения и частные виды квадратных уравнений х 2 ±х=а умели решать вавилоняне и древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям (около 2-х тысяч лет до нашей эры). Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М. Штифелем, а выводом формулы решения квадратных уравнений занимался Виет. Однако все они высказывали свои утверждения лишь на положительных числах. После трудов нидерландского математика А. Жирара, а также Декарта и Ньютона способы решения квадратных уравнений приняли совершенный вид.

Понятие квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где х-переменная, а, в и с-целые числа.

Три способа решения квадратных уравнений:

• выделение квадрата двучлена;
• решение с помощью формулы;
• теорема Виета.

Практическое задание №1

• Решить квадратное уравнение х 2 +10х+25=0 различными способами.

Решение (выделение квадрата двучлена):

х 2 +10х+25=0

(х+5) 2 =0

х=-5

Ответ: х=5.

Практическое задание №1

Решить квадратное уравнение х 2 +10х+25=0 с помощью формулы.

Решение:

х 2 +10х+25=0

D=10 2 -4х1х25=0

х=-10±√0/2

х=-5

Ответ: х=-5

Практическое задание №1

• Решить квадратное уравнение х 2 +10х+25=0 по теореме Виета.

х 2 +10х+25=0

х 1 + х =-10;

х 1 х 2 =25

х 1 =-5

х 2 =-5

Ответ: х=-5.

Практическое задание №1

Поменяем в уравнении коэффициенты а и в местами и решим выделением квадрата двучлена.

Решение:

10х 2 +х=25=0

(х+0,05) 2 =-2,475

Ответ: корней нет

Практическое задание №2

• Решить уравнение х 2 -6х-7=0 выделением квадрата двучлена.

Решение:

х 2 +6х-7=0

х 2 -6х+9=9+7

(х-3) 2 =16

х-3=4 или х-3=-4

х=7 х=-1

Ответ: -1, 7.

Практическое задание №2

• Решить уравнение х 2 -6х-7=0 с помощью формулы.

Решение:

х 2 -6х-7=0

D=36-4х1х(-7)=64

х 1 =7

х 2 =-1

Ответ: -1, 7.

Практическое задание №2

• Решить уравнение х 2 -6х-7=0 по обратной теореме Виета.

Решение:

х 2 -6х-7=0

-1+7=6

-1х7=-7

Ответ: -1, 7.

Практическое задание №2

• Поменяем в уравнении коэффициенты а и в местами и решим с помощью формулы

6х 2 -х-7=0.

Решение:

6х 2 -х-7=0

D=1-4х6х(-7)=169

х 1 =-1

х 2 =1,1(6)

Ответ: -1, 1,1(6)

Результаты:

• квадратное уравнение может иметь не более двух корней, а именно: а)один корень, 2)два корня, 3)нет корней;
• квадратное уравнение имеет много решений, но практически мы рассмотрели только три способа.

Вывод:

в ходе работы при решении квадратных уравнений мы поменяли местами коэффициенты а и в, при этом корни его изменились. Из этого следует, что поставленная нами гипотеза неверна.

Информационные ресурсы:

• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, алгебра 8 класс; под ред. С.А. Теляковского- М:
• «Тематический сборник тестовых заданий по алгебре для подготовки к государственной (итоговой) аттестации в новой форме», базовый уровень, под редакцией Е.А. Семенко, Просвещение-Юг, Краснодар, 2008 г.

росвещение, 2008г.

• Четырехзначная математическая таблица Бразиса.

Уравнения мы решаем Сразу многое не поймешь, Но учитель нам помогает И до цели своей дойдешь

Тема: «Квадратные уравнения» вида ах 2 +вх=0

Ученики 8 класса:

Аверина Елена

Белякина Дарья,

Куляева Ольга,

Учитель:

Четырина З.В.

Цель:

Почему уравнения называются квадратными

Задачи:

• изучить теорему квадратного уравнения вида ах 2 +вх=0;
• как решить неполные квадратные уравнения вида ах 2 +вх=0;
• исследовать квадратное уравнение вида х 2 +вх=0.

Гипотеза:

• Квадратное уравнение вида ах 2 +вх=0 всегда имеет два корня.

Исследования:

• теория квадратного уравнения;
• определение неполного квадратного уравнения;
• решение неполного квадратного уравнения.

Ход исследований:

• Если в квадратном уравнении ах 2 +вх+с=0, хотя бы один из коэффициентов а в или с равен 0, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Уравнение вида х 2 +вх=0 является неполным, т.к. коэффициент с=0.

Первый теоретический способ решения квадратного уравнения

Для решения неполного квадратного уравнения вида ах 2 +вх=0 надо его левую часть разложить на множители, получаем уравнение х(ах+в)=0. Произведение х(ах+в)=0 только тогда, когда хотябы один из множителей равен 0.

х=0, или ах+в=0.

Решая уравнения ах+в=0, в котором а≠0, находим ах=-в. Х=-в/а. Следовательно, произведение х(ах+в) обращается в 0, при х=0, и при х=-в/а.

Корнями уравнения х(ах+в)=0 являются числа 0 и –в/а.

Второй теоретический способ решения квадратного уравнения

Разделим уравнение ах 2 +вх=0 обе его части на а, получим равносильное квадратное уравнение х 2 +вх/а=0. Преобразуем это уравнение: х 2 +2х(в/2а)+(в/2а) 2 =(в/2а) 2 х+(в/2а) 2 =в 2 /4а 2

Число его корней зависит от знака дроби в 2 /4а 2 . Т.к. а≠0, то 4а 2 – положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком ее числителя. в 2 является дискриминантом неполного квадратного уравнения ах 2 +вх=0.

Третий способ решения квадратного уравнения с помощью формулы

Д=в 2 -4ас.

х 1,2 =

Пример №1 (с помощью формулы):

7х 2 -6х=0

D=(-6)-4х7х0=36

=(6-6)/14=0

=12/14 6/7

Ответ: =0, =6/7

Х 1

Х 2

Х 1

Х 2

Пример №2 (вынесение за скобки)

7х 2 -6х=0

Решение:

х(7х-6)=0

х=0, или 7х-6=0

7х=6

х=6/7

Ответ: =0, =6/7

Х 1

Х 2

Результаты:

• три способа решения квадратного уравнения вида ах 2 +вх=0;
• имеют два корня;
• исследуя неполное квадратное уравнение вида ах 2 +вх=0, мы всегда получаем не более двух корней.

Вывод:

• Действительно уравнение вида ах 2 +вх=0, всегда имеет два корня.
• Наша гипотеза верна

Информационные ресурсы:

• «Алгебра 8 класс», часть 1, учебник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2015г.
• «Алгебра 8 класс», часть 2, задачник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2017 г.
• «Тематический сборник тестовых заданий по алгебре для подготовки к государственной (итоговой) аттестации в новой форме», базовый уровень, под редакцией Е.А. Семенко, Просвещение-Юг, Краснодар, 2008 г.

• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, алгебра 8 класс; под ред. С.А. Теляковского- М: Просвещение, 2008г.

Чтобы решить уравнение Корни его отыскать Нужно немного терпенья Ручку перо и тетрадь.

Тема: Квадратные уравнения вида ах 2 +с=0 и ах=0

Ученики 8 класса:

Смольякова Елена,

Учанин Василий .

Цель:

• Исследовать неполное квадратное

уравнение вида ах 2 +с=0 и уравнение вида ах=0.

Задачи:

• освоить понятие неполное квадратное уравнение;
• научиться решать уравнение двух видов.

Гипотеза:

• Мы считаем, что неполное квадратное уравнение – это луч света в темном царстве.

Ход исследования:

• Квадратные уравнения вида ах 2 +с=0, где в=0 и ах 2 =0, где в=0 и с=0, то такие уравнения называются неполными.

0, уравнение имеет два корня. 2.Если- с/аУравнение вида ах=0 имеет единственный корень 0." width="640"

Ход исследования

• Рассмотрим общее решение уравнения вида ах 2 +с=0 при с‡0.
• Перенесем свободный член в правую часть и разделим оби части уравнения на а. Получим

х=-с/а.

1.Если-с/а0, уравнение имеет два корня.

2.Если- с/а

• Уравнение вида ах=0 имеет единственный

корень 0.

Практическое задание №1

• Решить квадратное уравнение:

2х 2 +18=0

Решение:

2х 2 +18=0

2х 2 =-18

х 2 ≠-9

Ответ: корней нет.

Практическое задание №2

• Решить квадратное уравнение:

2х 2 -18=0

Решение:

2х 2 -18=0

2х=18

х 2 =9

х=-3 и х=3

Ответ: -3, 3.

Практическое задание №3

• Решить квадратное уравнение:

6х 2 =0

Решение:

6х 2 =0

D=0-4х6х0=0

х=0

Ответ: х=0

Практическое задание №4

• Решить квадратное уравнение:

4х 2 =0

Решение:

4х 2 =0

х 2 =0:4

х=0

Ответ: х=0

Результаты:

• уравнение вида ах 2 +с=0, может иметь два корня или не иметь корней;
• уравнение вида ах 2 =0, всегда имеет корень равный нулю;
• существуют два способа решения данных видов уравнений.

Вывод:

• Наша гипотеза не верна.

Что неполное квадратное уравнение – это луч света в темном царстве.

Информационные ресурсы:

• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, алгебра 8 класс; под ред. С.А. Теляковского- М: Просвещение, 2018г.
• «Алгебра 8 класс», часть 1, учебник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2017 г.
• «Алгебра 8 класс», часть 2, задачник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2007 г.
• «Тематический сборник тестовых заданий по алгебре для подготовки к государственной (итоговой) аттестации в новой форме», базовый уровень, под редакцией Е.А. Семенко, Просвещение-Юг, Краснодар, 2008 г.

О математика. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаус окрестил

Тема учебного проекта: «Квадратные уравнения»

Автор: Четырина Зоя

Владимировна, учитель

математики МБОУ

«Горельская СОШ»

в селе Малиновка

Основополагающий вопрос:

«Решение квадратных уравнений»

Вопрос учебной темы:

• Насколько разнообразны методы решений квадратных уравнений?
• Учебные предметы: математика.
• Участники: учащиеся 8 класса

Дидактические цели проекта

• Формирование навыков нахождения наиболее рационального способа решения уравнения.
• Умение анализировать изученный материал.
• Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности учащихся.
• Умение увидеть проблему и наметить пути ее решения.

Методические задачи:

• освоить понятие «полные и неполные» квадратные уравнения,
• научить решать квадратные уравнения,
• научить кратко излагать свои мысли устно и письменно,
• проверить знания по решению квадратных уравнений.

Аннотация:

• Проект реализуется в рамках курса алгебры «Квадратные уравнения» и рассчитан на учащихся 8-х классов. Проект включает в себя исследовательский и информационный блоки. Самостоятельные исследования учащихся и приобретенные практические знания, умения и навыки помогут ответить на проблемные вопросы учебной темы, научат доступно, наглядно представлять теоретический материал и связывать его с практической работой. В ходе выполнения проекта у учащихся формируется представление о «полных и неполных» квадратных уравнениях. Дидактические материалы помогут ответить на проблемные вопросы.

Результаты представления исследований:

• информационный буклет;
• презентация учащихся

а) лабиринт среди квадратных уравнений,

б) квадратные уравнения вида ах 2 =0 и ах 2 +с=0,

в) квадратные уравнения вида ах 2 +вх=0;

дидактический материал.

Этапы и сроки проведения проекта :

• выбор тем исследования- (1 урок, 15 мин),
• определение творческого названия проекта- (2 урок. 10 мин),
• формирование групп для проведения исследований и
• определение формы представления результатов- (3 урок, 10 мин),
• обсуждение плана работы учащихся индивидуально- (4 урок, 10 мин),
• сбор информации по выбранным проблемам- (5 урок, 15 мин),
• подготовка отчета по проведенным исследованиям (презентация)- 45-90 мин.
• защита проекта – (6 урок),
• оценивание результатов проекта школьниками и учителем – (6 урок, 10 мин).

Информационные ресурсы:

• Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, алгебра 8 класс; под ред. С.А. Теляковского- М: Просвещение, 2008г.
• http :// center.fio.ru / som / Resouras / Karpuhina /2003/12/ Complited%20work / Concert /inde1.htm